利用概念圖評價學生數學聯結能力的策略探討

2000年4月，美國數學教師協會在頒布的《學校數學的原則與標準》中提出6項數學能力：數學聯結能力、數學運算能力、問題解決能力、邏輯推理能力、數學交流能力和數學表達能力。這是教育界首次提出數學聯結能力，隨后數學聯結能力受到全球數學教育者的廣泛關注。學生數學聯結能力的培養成了數學教學的重點之一，學生的數學聯結能力也成了評價學生數學知識掌握情況的重要標準。

一、數學聯結能力與概念圖的關系

數學聯結能力是指將不同數學知識聯結起來的能力，即發現各數學知識之間的聯結的能力。具體表現為，能夠形成數學知識的脈絡，發現數學知識在這個脈絡外的應用，通俗地說，就是數學知識與數學觀念之間的聯系。這種關聯的內涵與外延分別對應內部聯結和外部聯結：內部聯結能夠促進學生數學思維方法的養成，提高學生的數學素養；外部的聯結能夠發展學生應用數學的能力，強化數學的思維訓練作用。

在20世紀60年代，美國康奈爾大學諾瓦克(Joseph D.Novak)教授等首次提出了概念圖 (concept map)這一概念。概念圖是一張表示概念和概念之間聯系的平面網絡結構圖（如圖1），以此呈現學生對概念、思想系統化的認識。從形式上看，概念圖是將某一概念放在方框中，用連線將有關系的方框連接起來，再在連線上表明兩個概念之間的關系。

用概念圖來評價數學聯結能力的理論依據是Houghetal的概念圖研究方法，他提出通過統計數學知識概念圖的節點和連線數即可評價數學聯結能力。概念圖是目前流行的一種對概念理解的評價工具，側重對數學聯結的考察。學生數學聯結能力的強弱直接影響概念圖的質量，因此概念圖也可以作為一種評價學生數學聯結能力的工具。

圖1 圓的概念圖

二、利用概念圖評價學生數學聯結能力策略

一般來說，學生制作概念圖的過程有以下幾個步驟：①確定一個知識領域；②確定該領域中不同概念的層次結構，選取一個關鍵概念；③判斷概念圖的縱向分層和橫向分布；④確定概念之間的意義關系，創建聯結并確定聯結詞；⑤隨著知識的積累，不斷擴充和改進概念圖。因為概念圖要考察對領域內眾多概念的理解和概念之間的關系，因此概念圖常常被用作考察學生對某一領域知識的理解。

利用概念圖評價學生數學聯結能力最為常見的方法是讓學生在白紙上畫出某一數學知識領域的概念圖，然后對概念圖進行評分，利用得分評價學生的數學聯結能力。常見的概念圖計分方式有三種：成分結構評分法、相似度評價法和綜合評定法。簡單來說，成分結構評定法是對概念圖的不同組成部分加權然后計算總分；相似度評價法是利用計算機比較學生概念圖和專家概念圖，同時也需人工評判整體結構，并給出評價結果；綜合評定法則是結合前兩種評價法。

相似度評價法或綜合評定法這兩種評價方法受得分標準的制約較大，且難以評價概念圖的整體結構，因此，從效率的角度和實施難度出發，本文更加推崇成分結構評定法。成分結構評定法有四個基本要素：關系、階層、交叉聯結和舉例。評分是基于這四個要素進行加權計分，具體原則如下：

關系。是指兩個節點之間的聯結關系，兩個節點聯結構成一個命題，這個命題的結構是：概念—聯結詞—概念，其中聯結詞是判斷這個命題是否有意義的關鍵。對于有意義且有效的命題通常計1分，無意義或錯誤的命題則計0分。

階層。概念圖中的概念排列應該具有階層性，階層是指概念圖的縱向分層，從上至下是一個從一般到特殊的過程。由于概念圖中有效聯結的數量遠超有效階層的數量，因此對每一個有效階層的計分應該是有效聯結計分的3至10倍，即3至10分，通常計5分。若概念圖的橫向分布比較復雜，則選擇分支較多的一個框架來計算階層數。

交叉聯結。指某一概念階層的一部分與另一概念階層的其他部分（即與前者沒有上下關系）中概念的聯結關系，能夠顯示不同概念群間的關系。交叉聯結能夠表征學生的創造力，表示學生能突破一個概念群的束縛，往外尋找新的聯結關系，實現兩個概念群之間的互相聯系。因此，對于交叉聯結的賦分要高于一般聯結和階層，獨特或具有創造力的交叉聯結可以給予特別的認可和額外的加分，對于每一個重要的且有效的交叉聯結賦予10分，有效但不能清楚指出相互關系的交叉聯結賦予2分。

舉例。針對概念圖最底端的概念，即最特殊和具體的概念，要求學生舉出與教材上不同的且具有代表性的例子，以考察學生是否真正理解概念。有時，學生會根據機械記憶的結果舉例，對于這種例子通常只能計一分。但是若從學生舉出的例子中可以明顯看出學生對知識已經融會貫通，對于這類例子可以賦予較高的分值，一般為5分。

根據上述計分原則，對學生繪制的概念圖逐項計分，各項分值求和即為總分，以此來評估學生的數學聯結能力，總分越高說明學生的數學聯結能力越強。

三、運用概念圖評價學生聯結能力的實例探究

圖1是一張有關圓的概念圖。這張概念圖中一共有11個節點（概念）、22條聯結線和12個聯結詞。圖中的基本元素共構成15個命題：圓有圓周，圓有半徑，圓有圓心，半徑的端點是圓心，圓心是直徑的中點，圓心到圓周上的兩個點距離相等，半徑是直徑的一半，直徑聯結圓周上的兩個點，半徑有長度，直徑有長度，半徑的長度是直徑的一半，圓周有長度（周長），周長與圓周率有關，直徑與圓周率有關，圓周率是周長與直徑之比，這些命題均為真命題，因此共計15分。按照概念的從屬關系，該概念圖應該有4個階層：第一階層包含“圓”這一個概念；第二階層包含圓周、半徑、直徑、圓心、圓周上的兩個點，共五個概念；第三階層包含半徑長r、直徑長D，周長，共三個概念；第四階層包含圓周率，圓周長與直徑之比兩個概念。本文認定每一個有效階層的計分為有效聯結分值的5倍，因此該概念圖階層劃分共計20分。圖中“圓周上的兩個點”的上級概念是“圓心”，但它與“直徑”通過聯結詞“聯結”構成了一個真命題，因此可算作一個交叉聯結，同理命題直徑與圓周率存在數量關系亦可作為一個交叉聯結。此概念圖中共有兩個有效交叉聯結，依據其重要性，本文計其分別得分5分，共計10分。由于該概念圖并未對底層概念進行舉例，因此舉例部分的得分為0。綜合關系、階層、交叉聯結、舉例四個部分的得分，此概念圖得分44分。由于成分結構評定法并未設置得分上限，因此若運用此方法對概念圖評分，得分越高越佳。

概念眾多是數學學科的一個顯著特點，在學習數學的過程中，對概念的理解不應該是片面的、獨立的，概念學習的最后一個環節應該是將新概念與已經掌握的概念聯系起來，形成一個知識網絡。概念圖作為評價數學聯結能力的重要工具，也應該充分利用至數學學習的評價機制中。