淺析分數應用題的解題方法和策略

◆

(臨沂北城小學)

數學新課程標準中指出：“學生將通過數學活動了解數學與生活的廣泛聯系，學會綜合運用所學的知識和方法解決簡單的實際問題，加深對所學知識的理解，獲得運用數學解決問題的思考方法。”分數應用題是小學應用題教學的重點和難點，由于抽象程度比較高，學生難以理解和掌握。怎樣解決好這一難題，成為眾多教師教學研究的熱點。

我認為解決分數應用題的關鍵是數量關系，在理解題意的基礎上，找準單位“1”，抓住重點詞句進行分析，找到數量之間的等量關系，確定了數量之間的相互關系，才能得到解決方法。因此，我們應重視教給學生解決應用題的方法，提高解決問題的能力。

一、分數應用題的類型

根據分數應用題分率句的特點，我們把分數應用題分為兩大類型。第一大類是簡單分數的應用題，也就是一個數是另一個數的幾分之幾的問題。它又可以分為三種類型：一是求一個數是另一個數的幾分之幾，二是求一個數的幾分之幾是多少，三是已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數是多少。這三種基本題型，是所有分數應題學習的基礎，就好比大樓的地基，一定要打好基礎，學生才能更好地理解掌握分數應用題的解決方法。第二大類是稍復雜的分數應用題，也就是一個數比另一個數多(少)幾分之幾的問題。

根據分數應用題結構的特點，學生學習分數應用題的過程分為三個階段。第一階段是學習分數簡單的應用題，理解分數應用題的結構，打好學習應用題的基礎。第二階段是學習分數復合應用題，采用乘除混合編排方式，讓學生進一步感受理解分數應用題的結構。第三階段學習稍復雜的分數應用題和工程問題。分數應用題的基礎題型是簡單的分數乘法應用題，它不僅是學習分數除法應用題的前位知識，還是學習分數復合應用題的基礎。這樣的編排體現了由簡單到復雜，由易到難的知識結構，便于學生構建認知結構。

二、分數應用題的解題方法

(一)簡單分數應用題的解題方法

在解決簡單分數應用題時，我給學生總結出了“一找二判三寫四列”的幾個步驟。一找，就是找到題中表示兩種數量關系的句子，我們把它稱作為“分率句”。二判，指分析分率句所表示的意義，判斷哪種量作為單位“1”。三寫，是根據分數乘法的意義寫出數量關系，單位“1”×分率=對應量。四列，根據數量關系和已知條件進行列式解答。利用這樣的方法，根據單位“1”是已知還是未知，就能判斷出已知用乘法，未知用方程或除法解答。在簡單的分數乘法除法應用題中，反復使用這個解答步驟以達到熟練程度，解決復合應用題就變得非常簡單了，并且對后面的稍復雜分數應用題教學能有相當大的幫助。

(二)稍復雜分數應用題的解題方法

在解決稍復雜的分數應用題題型時，仍然運用“一找二判三寫四列”方法進行解決。但是和簡單應用題不同的就是分率句，重點要理解分率句所表示的意義。這種應用題有兩種解題思路，第一種是，明白單位“1”×分率=多的(少的)，然后再用單位“1”+(-)多的(少的)=比較量，綜合式子為單位“1”+(-)單位“1”×分率=比較量；第二種是，把稍復雜的分率句轉化成簡單的分率句，利用1+(-)分率表示比較量是單位“1”的幾分之幾，然后用單位“1”乘幾分之幾求出比較量，綜合的式子為單位“1”×[1+(-)分率]=比較量，這種解題方法要加強轉化訓練，要熟練轉化“甲比乙多(少)幾分之幾”變成“甲是乙的1+(或-)幾分之幾”，對這種轉化加強訓練后學生就能輕松地從“多(少)幾分之幾”的分率句中得出“是幾分之幾”的分率句，從而把稍復雜應用題轉變成前面所學過的簡單應用題。

三、分數應用題的解題策略

(一)會用線段圖

教師要教會學生會看、會畫線段圖，通過觀察線段圖，如果單位“1”對應的數量是已知的，就用乘法，找未知數量對應的分率;如果單位“1”對應的數量是未知的，就用方程或除法，找已知數量對應的分率。特別是一些內容較多，關系較亂的問題，通過線段圖的方法就能很清晰地找出題中的數量關系，比較容易地解決問題。

如小紅和小明兩人共存人民幣若干元，其中小紅占3/5，若小明給小紅60元后，則小明余下的錢占總數的1/4，小紅和小明兩人各存人民幣多少元？

根據題意畫線段圖：從線段圖上一目了然，60元的對應分率是(1-3/5-1/4)，于是可求出小紅和小明兩人共存人民幣多少元，進而可求出兩人各存人民幣多少元。

60÷(1-3/5-1/4)=3200(元)……小紅和小明兩人共存?3200×3/5=1920(元)……小紅

3200×(1-3/5)=1280(元)……小明

或3200-1920=1280(元)

(二)活用轉化法

在一道分數應用題中，如果出現了幾個分率，而且這些分率的單位“1”不同，在解題時，必須以題中的某一個量為標準量，將其余量的對應分率統一到這個標準量上來，才可列式解答。有些分數應用題，可以通過改變看問題的角度，將題中某些已知數量轉化成與之有關聯的另一個數量，使之成為一個較為熟悉的簡單的問題，從而找到解題的新方法。

如小明、小英、小麗和小華四人愛好集郵，小明的郵票數是小英的1/2，小英的郵票數是小麗的1/3，小麗的郵票數是小華的1/4，已知四人共集郵132張，小明集郵多少張？

題中有三個不帶單位的分率，它們的單位“1”分別是小英、小麗和小華；肯定用除法；題中只有一個帶單位的數量：132張，列式一定是用132去除；132是指四人集郵總數，應除以四人的分率總和，題目最關鍵就是要把四人的分率表示出來，由于存在不同的單位“1”，首先必須把不同的單位“1”統一成一個單位“1”。有正確的思路，才知道該做什么。

把題中三個單位“1”，統一轉化成以小華的集郵數做單位“1”。小華是單位“1”，根據“小麗的郵票數是小華的1/4”，小麗就是1/4；根據“小英的郵票數是小麗的1/3”，小英就是：1/3×1/4=1/12；根據“小明的郵票數是小英的1/2”，小明就是：1/2×1/12=1/24，現在四人的分率都表示出來了，可以除了。

132÷(1+1/4+1/12+1/24)=132÷11/8=96(張)

算出來的是單位“1”：小華的郵票張數，小明的張數是：96×1/24=4(張)

(三)巧用不變量

對于標準量不統一的分數應用題，如果我們能從題中找到一個不變量，就以不變量為突破口，便能夠很快找到解題方法。

如一個車間有工人360人，其中女工占3/5，后來又招進一批女工，這時女工人數占全車間工人總人數的5/8，又招進女工多少人？

從題中可知，女工人數起了變化，引起全車間工人總人數起了變化，但是男工人數始終沒有增減，因此，抓住男工人數沒有變化這個不變量來分析。當全車間工人為360人時，女工占3/5，則男工占1-3/5=2/5，為360×2/5=144(人)。又招進一批女工后，女工人數占這時全車間工人總人數的5/8，則男工人數占這時全車間工人總人數的1-5/8=3/8，因此，這時全車間有工人144÷3/8=3849(人)。原來全車間有工人360人，現在增加到384人，增加的原因是由于招進了一批女工，故又招進女工384-360=24(人)。綜合算式：360×(1-3/5)÷(1-5/8)-360=24(人)。

以上是筆者在教學分數應用題時總結的幾點方法，它的解法不是絕對孤立的，因此，在教學中，我們要引導學生靈活運用，以形成自己的解題技能技巧。