中小學數(shù)學閱讀教學策略的實踐探索

吳樂樂，柏 楊，吳龍龍

（1.重慶市教育科學研究院，重慶 400015；2.重慶市大渡口區(qū)百花小學，重慶 400084；3.重慶市實驗中學，重慶 401320）

數(shù)學起源于人類早期的生產(chǎn)活動，應用于解決實際問題，是一門古老的工具學科。數(shù)學學科的本質(zhì)是一種語言，核心功能是交際工具。中小學數(shù)學課程標準明確指出，“數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關系的科學，是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學語言和有效工具”[1]。“數(shù)學作為對于客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學語言與工具，不僅是自然科學、技術科學等科學的基礎，而且在經(jīng)濟科學、社會科學、人文科學的發(fā)展中發(fā)揮著越來越大的作用。”[2]引導中小學生學習數(shù)學語言、掌握數(shù)學語言、運用數(shù)學語言，進一步深化數(shù)學閱讀、跟進數(shù)學表達、強化數(shù)學交流，最終實現(xiàn)掌握舊知、探究未知、獲取新知、發(fā)展已知，提升數(shù)學核心素養(yǎng)已經(jīng)成為中小學數(shù)學課程與教學改革關注的重點。

一、數(shù)學閱讀是數(shù)學學習的重心

經(jīng)濟合作與發(fā)展組織、歐盟、加拿大、英國、法國、日本、新加坡等紛紛將“語言溝通與交流”“數(shù)學表達和理解”納入21世紀學生發(fā)展核心素養(yǎng)。[3]數(shù)學作為一種科學語言和交際工具，其溝通與交流能力、理解與表達能力更是學生發(fā)展的關鍵能力和數(shù)學學習的側重點。

數(shù)學語言，不僅具有漢語、英語、法語等語言具有的符號性、系統(tǒng)性、傳承性和交際性等特征，更具有嚴謹性、準確性、簡約性、不變性等特點。正如數(shù)學基本符號、基本公式、基本公理等，在任何國家所傳遞的信息均不會改變。數(shù)學語言已經(jīng)成為全世界、全科學領域內(nèi)通用的“無障礙”交際語言。

學習一門語言，最重要的是培養(yǎng)“聽、說、讀、寫、譯”五大能力，概括起來就是“輸入”與“輸出”兩大維度的能力。通過“聽、讀”輸入信息，通過“說、寫、譯”輸出信息。結合數(shù)學學科的特點，數(shù)學語言的學習關鍵應該是培養(yǎng)學生的閱讀與表達能力。數(shù)學閱讀是數(shù)學表達的前提，為數(shù)學表達提供信息、奠定基礎，是數(shù)學學習的關鍵。正如我們在語言學習過程中，第一個環(huán)節(jié)大體都是搞懂、明白、理解對方的意思，然后才有針對性地組織語言，做出相應的語言表達。

數(shù)學閱讀是一種理解、領悟、吸收、鑒賞、評價和探究的思維過程。數(shù)學閱讀是深入貫徹數(shù)學學科三大核心思想——抽象思想、推理思想和模型思想[4]，有效轉化數(shù)學學科三大特征（也是三大重難點）——高度抽象性、嚴謹邏輯性和廣泛應用性[5]，有效培養(yǎng)數(shù)學學科十大核心素養(yǎng)——數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創(chuàng)新意識[6]的重要載體和重要保障。數(shù)學閱讀能夠?qū)崿F(xiàn)抽象問題的具體化、生活化處理，能夠科學有序地開展嚴格的邏輯推理及論證，能夠準確建構數(shù)學模型高效解決社會實際問題。

中小學教育教學實踐表明，數(shù)學閱讀能力是優(yōu)秀學生必須具備的關鍵能力，也是優(yōu)秀學生變得更加優(yōu)秀的關鍵能力。而絕大多數(shù)學困生，歸因于數(shù)學閱讀綜合能力低，具體表現(xiàn)為：一是數(shù)學閱讀興趣低，內(nèi)動力不足；二是數(shù)學語義理解能力、邏輯判斷能力、分析概括能力、組織轉化能力、聯(lián)想創(chuàng)造能力等偏低，閱讀基礎薄弱；三是數(shù)學閱讀材料以及方法的選擇提煉能力低，閱讀效果不佳。因此，數(shù)學閱讀能力的培養(yǎng)是數(shù)學語言學習的核心，是數(shù)學課程實施的關鍵。

二、中小學數(shù)學閱讀教學的著力點

認知結構主義心理學家布魯納強調(diào)學科結構的重要性，提出“不論我們選教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結構”，指出“學科的基本結構是指一個學科圍繞其基本概念、基本原理以及基本態(tài)度和方法而形成的整體知識框架和思維框架”。[7]“基本概念”“基本原理”“基本態(tài)度與方法”成為學生掌握學科基本結構的框架體系和關鍵載體。

數(shù)學作為一種思維形式的判斷與推理，通常以定理、法則、公式等方式表現(xiàn)出來。林崇德指出，提高數(shù)學能力的關鍵是“合并同類項”，實質(zhì)就是培養(yǎng)由個別到一般的概括能力。數(shù)學教學的重點在于講清楚基本概念，而數(shù)學概念的掌握需要概括能力做基礎，同時又促進概括能力的發(fā)展。[8]史寧中在《基本概念與運算法則》一書中，明確并強調(diào)了“基本概念”與“運算法則”是數(shù)學教學的核心內(nèi)容。[9]李光樹指出，數(shù)學概念、定理、公式、法則等以及它們之間的聯(lián)系是構成數(shù)學認知結構的物質(zhì)基礎。[10]

結合數(shù)學教學實踐，不難發(fā)現(xiàn)“基本概念”“公式法則”“基本定理”“問題解決”等，既是教師教學與學生學習的重心，也是考試評價的重心；既是培養(yǎng)學生運用數(shù)學語言、數(shù)學工具探究未知、獲取新知的關鍵，也是發(fā)展理性思維和智力文化的關鍵。數(shù)學“基本概念”“公式法則”“基本定理”和“問題解決”成為中小學數(shù)學閱讀教學關注的重要內(nèi)容。

三、中小學數(shù)學閱讀教學的策略

張楚廷指出，“哲學就是一門尋根究底的學問，或者說就是打破砂鍋問到底的學問”[11]。數(shù)學被古希臘學者視為“哲學之起點”“學問的基礎”，那么數(shù)學“基本概念”“公式法則”“基本定理”“問題解決”等閱讀教學，更應該做到“咬文嚼字”“追根溯源”“厘定關聯(lián)”等。

（一）基本概念的閱讀策略——咬文嚼字、發(fā)散聯(lián)想

數(shù)學概念是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學的思維形式。數(shù)學概念的教學一般要經(jīng)過從孤立到系統(tǒng)、從抽象到具體、從表面到本質(zhì)的過程[12]，基本策略是“咬文嚼字、發(fā)散聯(lián)想”。

如“鄰補角”是指“兩個角，有一邊是公共邊，另一邊是互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角”。閱讀教學過程中，從質(zhì)性的位置關系解讀，“鄰”就是“相鄰、鄰居”的意思；從量性的數(shù)量關系解讀，“補”就是“互補”的意思，言外之意，滿足“相鄰”的位置關系和“互補”的數(shù)量關系的兩個角，就是互為鄰補角。鄰補角不是一個角的性質(zhì)特征，而是兩個角之間的質(zhì)性、量性關系。

又如“系數(shù)”是指“單項式中的數(shù)字因數(shù)”。閱讀教學過程中，“系”要與“一女牽牛過獨橋”的“牽”，也就是“在前邊拉、拽”等關聯(lián)起來。“系數(shù)”也要充當位居前邊的角色，這與單項式的表達規(guī)則，即“數(shù)字因數(shù)寫在字母因式之前”的規(guī)則相吻合。

按照“咬文嚼字”和“發(fā)散聯(lián)想”相結合的方式開展數(shù)學基本概念閱讀，能夠深度解讀、挖掘、理順字與字之間的關聯(lián)，能夠準確掌握概念界定的科學性和嚴謹性，能夠極大促進學生認知。

（二）公式定理的閱讀策略——追根溯源、系統(tǒng)建構

數(shù)學公式定理通常具備三種功能：一是表達理論依據(jù)；二是表達規(guī)則及作用；三是表達遵循的基本程序或方法。公式定理是建立在數(shù)學基本概念之上的，是聯(lián)結多個基本概念、厘清并表達概念與概念之間內(nèi)在關聯(lián)的核心主線。數(shù)學公式定理的閱讀和學習，需要做到“追根溯源”“系統(tǒng)建構”，以理順核心知識主線，強化認知聯(lián)結。

如“一元二次方程求根公式”是在“降次”思想指導下，通過“配方法”，將等式的一邊化成關于未知數(shù)的“完全平方式”，另一邊化成不含未知數(shù)的式子，然后根據(jù)“求平方根”的運算，實現(xiàn)“降次”的目標。同時，根據(jù)“求平方根”的基本原則，得出“一元二次方程求根公式”有意義的條件是“被開方式子非負”，由此得出一元二次方程“根的判別式”結論。甚至通過設置問題，引導學生驗算得出“韋達定理”的結論。

進一步延伸，“一元二次方程求根公式”是求解“一元二次方程”的通法，但不是唯一的方法。“一元二次方程”的求解是建立在“一元一次方程”的知識、方法儲備基礎上的。聯(lián)想到“多元一次方程組的求解”是通過“加減消元、代入消元”等方法，將“多元”成功轉化成“一元”，那么“一元二次方程”的求解也應該通過“降次”的思想，將“二次”甚至“高次”成功轉化為“一次”，然后再求解。

“降次”的對立面是“升次”。我們可以通過“求平方根”，即“開平方”實現(xiàn)“降次”，還可以通過哪些知識實現(xiàn)“降次”？繼續(xù)引導學生進行深入挖掘和系統(tǒng)建構，“開平方”的逆運算是“平方”，正如“除法”的逆運算是“乘法”，“因式分解”的逆運算是“整式乘法”一樣。我們在“因式分解”中學過運用“十字相乘法”分解“二次三項式”，而“一元二次方程”含有未知數(shù)的一側恰好也是“二次三項式”，如果我們能夠把“一元二次方程”含有未知數(shù)的一側因式分解成兩個“一次因式”的乘積，那么也能夠?qū)崿F(xiàn)“降次”，求解出方程。這樣，通過“一元二次方程求根公式”，我們把“完全平方公式”“配方法”“因式分解”“整式乘法”等知識與方法的內(nèi)在關聯(lián)進行了系統(tǒng)梳理和建構，促進學生數(shù)學知識圖譜的建構和推導運用。

（三）綜合問題的閱讀策略——學思知行、雙向轉換

中小學數(shù)學課程的學習涉及“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“統(tǒng)計與概率”“實踐與綜合應用”等四個領域，“知識點的瑣碎性使綜合應用題、幾何證明題的求解具有多樣性、困難性，使不少學生因難度大而難以解決此類問題”。[13]實踐表明，“讀不懂題意”“理不順關系”是求解綜合應用題、幾何證明題的最大障礙。歸根結底，原因在于不會用數(shù)學的眼光觀察問題，不會用數(shù)學的思維思考問題，不會用數(shù)學的語言表達問題。[14]“數(shù)學的語言表達”是一切數(shù)學學習和教學活動的最終落腳點和最終升華點。這類綜合問題閱讀教學的基本策略是“學思知行”“雙向轉換”。

“學思知行”是數(shù)學教育的基本要求，也是處理數(shù)學綜合應用問題和幾何證明問題的基本策略。數(shù)學綜合問題的解決過程是學、思、知、行相互交織、共同作用于學生學習和教師教學的整體。打造“學思知行”有機結合的數(shù)學課堂是破解課堂教學難題的一大突破口。[15]“學”要做到有目的、有計劃、有組織，聚焦待解問題，提綱挈領地學習、掌握題干內(nèi)容、已知條件的內(nèi)在關聯(lián)和主旨要義。“思”要做到解題思維“雙向轉換”、語言符號“雙向轉換”、方法思路“雙向轉換”，分析問題采取由問題到條件的逆向思維，解答問題采取由條件到問題的正向思維，細讀、深究已知條件與待解問題之間的內(nèi)在關聯(lián)，確定解題思路，做到“能進能退”。“知”是建立在“學”與“思”的基礎上的，是數(shù)學思想、數(shù)學知識、數(shù)學方法、數(shù)學策略等學科素養(yǎng)的綜合體現(xiàn)，需要長時間的積累和升華。“知”能夠為我們求解綜合應用問題、幾何證明問題提供“頓悟”式解題思路和策略，這與赫爾巴特建構的“基于已有經(jīng)驗、知識、興趣、態(tài)度等而產(chǎn)生的一種自發(fā)心理活動，即統(tǒng)覺”是相一致的。“行”是綜合問題閱讀教學的最后一個環(huán)節(jié)，也是數(shù)學解題能力提升的最重要的一個環(huán)節(jié)。“行”是將“學”“思”“知”三個環(huán)節(jié)的分析、建構、頓悟等結論，用數(shù)學符號、數(shù)學語言表達出來的過程，需要做到思路清晰、邏輯嚴謹、簡明扼要、表達規(guī)范。

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）[S].北京:人民教育出版社，2012：1-5.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京:北京師范大學出版社，2012：1-7.

[3]黃四林，左璜，莫雷，等.學生發(fā)展核心素養(yǎng)研究的國際分析[J].中國教育學刊，2016（6）：8-14.

[4]史寧中.漫談數(shù)學的基本思想[J].中國大學教學，2011（7）：9-11.

[5]曹培英.從學科核心素養(yǎng)與學科育人價值看數(shù)學基本思想[J].課程·教材·教法，2015，35（9）：40-43，48.

[6]馬云鵬.關于數(shù)學核心素養(yǎng)的幾個問題[J].課程·教材·教法，2015，35（9）：36-39.

[7]布魯納.布魯納教育論著選[M].邵瑞珍，張渭城，等，譯.北京：人民教育出版社，1989:23.

[8]林崇德.從智力到學科能力[J].課程·教材·教法，2015，35（1）：9-20.

[9]史寧中.基本概念與運算法則[M].北京:高等教育出版社，2013.

[10]李光樹.小學數(shù)學學習論[M].北京:人民教育出版社，2014.

[11]張楚廷.課程與教學哲學[M].北京:人民教育出版社，2003：18.

[12]徐同,翟士杰.高中數(shù)學概念教學淺議[J].當代教育科學，2015（6）：61-62.

[13]李燦釗.初中數(shù)學教學要注重學生綜合應用能力的培養(yǎng)[J].中國教育學刊，2017（6）：106.

[14]史寧中，林玉慈，陶劍，等.關于高中數(shù)學教育中的數(shù)學核心素養(yǎng)——史寧中教授訪談之七[J].課程·教材·教法，2017，37（4）：8-14.

[15]馬曉丹.“學思知行”是破解數(shù)學課堂教學難題的關鍵[J].中國教育學刊，2017（6）：106.