數學教育中“教思考”的探索

王寬明，呂傳漢，游泰杰

（貴州師范大學數學科學學院，貴州 貴陽 550001）

一、“教思考”適應當代教育改革的需求

教育思潮的變革、社會結構的快速變遷、工作情況的急劇變化等，引發數學教育界對于數學教育的目標、課程內涵與教學等的重思與討論，反觀各主要國家紛紛推動教育改革，均以培育具有挑戰性、創新性、批判思考以及問題解決能力等為主要目標，具有理性思考、多元文化包容和理解等內容，呈現了以培養教思考為核心的教育改革特點。美國國家研究委員會制定的Everybody Counts認為，隨著社會和科技的迅猛發展，“21世紀的勞動力將是較少體力的而較多智力型的，較少機械的而較多電子的，較少穩定而較多變化的”[1]，這表明，大數據時代公民必須普遍具有較高的思考力方能適應社會的需求。

現今的教育實踐，由于中、高考等高利害考試指揮棒的影響，課堂教學以解題準確和快速為目標，偏向于低層次認知能力而較少有高層次的思維活動。“思考”是指“進行比較深入的考慮”，“進行分析、綜合、推理、判斷等思維活動”。因此，思考屬高層次思維活動，而高層次思維包含問題解決、批判思考、創造思考等。[2]應時代需求的變遷，數學教育也以培養學生思考能力為核心。研究所指的教思考，指的是在數學課堂教學中，教會學生具備以高層次思維認知客觀世界。

二、數學教育中“教思考”的內涵

數學學習在本質上是學習者憑借其知識經驗的習得而產生較為持久的行為（包括言語、思考和解決問題等）變化過程，其中行為的變化主要是由思維變化引發的。斯托利亞爾認為，“數學學習與其說是學習數學知識，不如說是學習數學思維活動”[3]，這說明數學思維活動較數學知識更重要，是一種高層次思考的行為?；A教育階段，數學教育教學中的教思考，其實質就是一種數學思維模式的習得。學生的數學思維模式決定其觀察問題、思考問題、分析問題和解決問題等方式方法及策略手段的不同表現形式，以及“問題解決”能力的差異。

由于教育的主要目的在于促使學生發展其潛力，因此教育場域中的教思考，首先應了解學生思維方式的特點，根據不同的特點，教導或啟發學生采取合適的思維方式，培養其在日常生活中展現獨立思考力的意愿與行為。

近三十年以來，數學教育目標存在以下發展趨勢：由工具與實用導向擴充其文化與能力導向；由精英教育轉向平民化；由知識性的熟練轉向認知性的關注。[4]這反映了教育對于培養明智公民的重要性。數學教育目標的變革也使得數學抽象、數據分析、邏輯推理等成為數學教育所重視的核心素養，而以數學核心素養為載體隱含的是未來社會對公民思考能力的追求。就數學教育而言，提升個體“思考力”需要在實踐中強化高認知思維能力的培養。由于思考具有多層次、多角度的特點，數學課堂教思考也會有程度和形態上的差異，故在實踐中除了關切共性的方法以及整體層面的效果外，還應該有更細微、更切合個體需求的特點。但教思考作為高層次思維的教學，實踐中，需要突出以下幾個方面：

（一）創造性思考

諾克（Runco）認為，“創造性思考的心智過程包含：擴散思考、聯結、模擬、問題解決、問題發現、頓悟、直覺等”[5]。創造性思考與創造力密切相關，斯滕伯格（Sternberg）提出與創造力有關的幾個主要認知過程：問題辨識、定義及重新再定義問題、選擇性編碼、選擇性組合、選擇性比較、擴散思考、概念評估、彈性等。[6]由此可知，與創造力有關的部分認知過程屬于思考能力，思考它們是個體創造思考的基礎，同時也是其他思考表現的重要元素。其中，最常用來評估創造思考潛能的指標，為擴散思考、頓悟以及遠距聯想三者。擴散性思考不同于聚斂性思考，中小學課堂中教師相對重視突出演繹推理的聚斂性思考，而擴散性思考能夠根據既有的或潛藏的信息，發散擴張出大量的信息，為問題解決有效開展提供必要的物質基礎。因此，擴散思考能力被視為衡量個體創造力的主要指標之一。

除此之外，“頓悟與遠距聯想，也經常被用來作為評估創造認知潛能的指標”[7]。頓悟性思考的關鍵在于，個體在嘗試進行問題解決時，能夠適時進行問題表征間的轉換。通常通過頓悟性思考解決問題時，不須仰賴高深的數學知識，一般人都具備解決該問題的能力，而且個體在突然克服問題的困境時，會獲得一種成功的經驗。遠距聯想能力則是能夠由一些中介節點，將遠距的概念聯結在一起。個體進行遠距聯想時，往往同時快速進行表征轉換，故比較接近頓悟性思考。

（二）批判性思考

客觀世界是復雜的，客觀事物一般都具有兩面性，要讓學生正確認識客觀事物，關鍵是幫助學生養成批判性思考的習慣，能夠在通過對現實世界的紛繁復雜進行揚棄的基礎上，辯證性地認識、理解和處理問題。因此，不同于一般層面的思考，批判性思考對思考的品質有一定的廣度和深度要求。

批判性思維能夠使學生審慎而自信地接受知識和外界信息，既不盲從權威也不全盤接受別人的觀點，更不排斥和抗拒新生的事物。但“在我國，批判性思維的研究與實踐長期沒有引起足夠重視”[8]，即便在高學歷群體里也存在因批判性思考能力不足而不能夠正確認識和處理事情的現象。因缺乏批判性思考而不能超越自身的苦惱，導致個別學生雖受過高等教育但卻沒有掌握理性、合理的批判性思考能力，實踐中淪為無批判性的人，因而“過分強調對立，采用極端態度來批判社會存在的不良現象”[9]。批判性思考“為決定相信什么或做什么而進行合理的、反思性的思維，包括澄清意義、分析論證、評估證據、判斷論斷的合適性和推導有根據的結論等技能”[10]。在國際教育界，批判性思考“被認為是和讀、寫一樣基本的學習和學術技能，是創造知識和合理決策所必需的能力”[11]。具有良好的批判性思考能力的人，一般情況下，都具有開明而公正的心智、尊重別人的觀點及其態度，并且能夠根據問題的情境適時調整思路并修正自身觀點。

在數學教育領域，教師能將所學的知識與學校情境外的社會問題產生聯結，以進行有效的社會參與。這些問題，未必是數學問題，但是“問題解決”的過程必須涉及系列數學知識，教師可以在課堂上通過設計良好的開放式試題，讓學生通過聯結社會現實問題，運用高層次思維，以不同的形式表達、論述其中蘊含的數學學科知識，讓學生自主參與數學知識建構、數學探究和實驗，其中，既重視數學文化的自我保存和發展，更要具有超越學校和民族價值的國際化情懷。

（三）“問題解決”能力

建構主義理論支撐的“問題解決”教學，超越了傳統僅關注“知識傳授”的量的問題，而是更加關注學習者學習能力的發展。在尼維（Newell）和西蒙（Simon）看來，“問題是這樣一種情境，個體想做某件事，但不能馬上知道對這件事所需采取的一系列行動，就構成了問題”[12]。據此觀點，“問題解決”是“由一定情景引起的，按照一定的目標，應用各種認知活動、技能等，經過一系列思維操作，使問題得以解決的過程”[13]。而“問題解決”教學，意指在問題解決的過程中教會學生如何思考解決問題，順應他人與環境，進而能夠更好地學會生存、學會與他人共同生活以及求知和做事等的能力。[14]按斯托利亞爾的觀點，學習者的學習能力主要表現在學習者面對問題時，其思考問題的深刻性、敏捷性和廣闊性等特征。英、美、加拿大等國的數學課程標準把“問題解決”作為目標之一，目的是“培養數學感覺的敏銳、數學思維的嚴密，學會‘充分理解問題——制定解題方案——綜合運用多種手段實施解題方案——回顧并討論解答’的良好思維習慣”[15]。另一方面，隨著建構主義學習理論的興起，基于問題的學習（PBL）應運而生。PBL教學目的是發展學生的批判性思考和問題解決能力，“鼓勵學生進行辯論，挑戰同伴的想法、分享概念形成過程等”[16]。

“問題解決”是通過“問題來驅動學生發散性思考，重視從工具性理解向關系性理解轉變”[17]，包括讓學生對一任務進行全盤的探究性研究，以問題驅動為活動中心，學生是通過與驅動的問題引發思考來形成學習內容，進而掌握現象背后的數學結構與概念意義并獲得知識與技能。“問題解決”過程既涉及批判性思考，也包含創造性思考?！皢栴}解決”的過程中涉及信息提取和選擇、綜合評估、信息整合和優化等，均屬于高層次思維和認知能力。因此，“問題解決”的實質是思考能力的體現?！皢栴}解決”需要學生通過自己的努力，在克服各種困難的過程中通過積極思考以掌握知識以及獲取掌握知識的方法和能力，其過程是動態而復雜的。

三、數學課堂“教思考”的課程設計

思考能力是融合許多要素的復雜概念，包含不同方面、特質、動機、態度等，而實際上在數學教育中推動“教思考”時，教師作為主導者，需要思考的是課程要如何安排？以及教學活動的實施應包含哪些方面與內容？

（一）課程設計

教學生學會思考，若將其課程設置獨立于數學學科之外，未必能夠發生學習遷移的效果。若能在數學課堂將教思考融入數學各模塊的教學中，包括其他學科領域，也許會更有助于個體在各模塊的“問題解決”能力、批判性思考和創新性思維的表現，即重視知識和技能的融合會更有助于促進個體對課程內容的學習。

課程的設計是影響“教思考”效果的重要因素?？紤]個體思考多層次、多角度的特點，研究認為，教會學生思考需要對高層次思維養成具有明晰的認識：扎實有效的批判性思維能力必須長時間與多方面的認識技巧聯結；創造性思考的教學必須以可運用于真實生活實例，或是通過其他情境化的方式進行；“問題解決”必須搭建一連串與學習者數學學習領域相關的練習，提供學習者應用的策略，以及啟發學習者能在更復雜、更真實情境下應用數學知識。

綜上，筆者認為，教會學生思考，課程設計必須能夠有效促進學生在數學專業領域自主學習知識。數學教學是關于數學的教學，區別于其他學科，數學學科具備自身獨特的數學模式和解決問題的思維方法。因此數學教育中的“教思考”必須建立在數學專業或數學領域知識的基礎之上，促進學生數學核心素養的養成，才會體現其學科意義與價值。

就教思考的本質而言，教師為提升學生領域知識而實施的富有創意的教學行為，不能淹沒個體作為主體的獨立思考和自主學習的精神。因此，教會學生思考必須是來自于學生的主動而非外在的強迫。教師促進學生自主學習必須提供學生思考的支架：

第一，提供數學思維模式幫助學生思考；

第二，教學強調過程導向、情境導向，使學生能不斷修正改進和完善思考的角度和模式，并將所學的模式運用于不同生活情境，強化數學思維模式的習得；

第三，激發與提升學習動機，使學生愿意主動建構知識，重視學生獨立自主獲取知識、技能，強化數學核心素養對“問題解決”能力的促進作用；

第四，通過在真實情境中的任務活動，賦予學生學習上的自主權，并重視學習活動與先前經驗的關聯。

（二）教思考的技巧和策略

教思考的策略特色，在于學習者思維的高度參與，進而產生系列有新意的方法。或者幫助學生形成系統化的記憶、發現因果關系，甚至產生新的直覺和頓悟，整合許多不同觀點的思考方法，對于思考對象進行創造性或開放性的思考，最后創造性地實現問題解決。

學生的高層次思考需要有創造性。研究發現，創造性訓練或教學，對于學習者個體的創造潛能與表現，有明顯的效果。[18]因此，在教學過程中，教師可教會學生必要的創造性思考技巧或策略。具體包括：

第一，根據不同個體的認知思考功能或過程，如擴散性思考中的流暢性、變通性、獨創性等思考特征，在問題發現、概念組合、思維產生等教學過程設計相應的練習活動。如請學生列舉概念、公式的非常規肯定例證；給出概念的否定例證；采用“一題多解”“一法多用”以及“一題多變”等；完成一系列未完成的圖案，并為其命名等。

第二，吸納現有的教學研究成果中好的創造思考教法或創造思考教學設計，對其重新組裝和改造。具體包括：激發學生思維；改進知識接受方式；組織知識呈現方式和邏輯結構；對結果進行再探究等。

（三）教會學生思考的情意培養與方法營造

思考不只是一種認知能力的表現，更是一種情意的傾向。思考情意的培養與營造方法包含以下兩個方面：

1.課堂氛圍營造

在情意教育的教學目標層次上，通常在教學中，教師可使用價值澄清法，建立一個師生均感自由、安全的教室氣氛。提供有助于激發學生創造思考的物理環境措施。具體方式：

第一，教師提出問題，學生嘗試解決問題。問題解決的設計方案和結果有多種，但無論是方案還是結果，均無好壞優劣之分，學生采用何種方案或結果，需要做出“適切性”說明，而教師不須對分歧的意見干預。

第二，教師建構有利于學生思考的環境，并評價其發展。學生需要對其采用的方案設計或結果進行充分論證。論證的過程對于學生的思考力發展是一個有力的檢驗。

第三，維持一個能創造互信、允許冒險及具有實驗性、創造性和正面的教室氣氛。即建立允許文化多元、相互包容、理解并尊重的課室文化。

第四，示范學生達成的高品質思考行為。

2.激發學生思考動機

一般說來，內在動機比較有利于創造表現的展現。迪茜（Deci）與諾楊（Ryan）的自我決定論假設人有三種與生俱來的內在心理需求：第一，自主需求，希望所處的情境是自己能掌控的；第二，勝任感需求，希望面對外在工作或挑戰時自己能夠應付；第三，關系需求，希望能有歸屬感。[19]

若能滿足上述心理需求，就會有內在動機出現。其中，自主性是內在動機最主要的成分，隨著行動自主程度的高低，可將內在動機與外在動機視為一個連續的向度。行動的自我決定程度越高，越傾向內在動機的形式，自主程度越低，則越傾向外在動機形式，完全無法自主的行為則無動機可言。因此，教師在教思考過程中，采取策略增進學生自主性的感受，將有助于提升其內在動機。自我決定理論實質是基于內在能力、外在比較或社會期望而區分的目標導向。據此，教師在授課過程中，強調學會思考的目的是“增進”自己適應社會變化的能力，鼓勵學生在與他人交流的過程中分享信息和獨立自主解決問題，課堂中傳遞刻苦、勤奮、努力的正能量信息。因此，學習思考是跟自己比較，屬于絕對的、進步的參照，而非個體之間的比較或競爭；教師亦可提供線索、采用暗示的方式引導學生學習，如“人人都可以進行高層次思考、有創意的思考”。

當然，教會學生思考也可適度利用外在動機。如讓學生知覺到“有所進步”是很重要的，教師在課堂上可以采取肯定學生“問題解決”能力或方案設計、能夠獨立完成學業任務、課堂表現積極等策略。因獎賞機制能反映學生投入“問題解決”活動的程度，故教師也可在教思考課堂中，提出挑戰任務與獎賞機制相結合，以此激發學生思考的動機。

（四）數學教育“教思考”的課堂評價

教會學生思考的理念，適用于各層次的學生。教思考，一方面，為學習者運用高層次思考和認知提供機會；另一方面，現今更重要的問題在于“數學課堂教思考，就教學而言如何表現？教思考在什么情況下？對誰而言最有效？如何刻畫教思考的程度？”這也是對教思考評價的問題。

研究采用四個不同階段的表現水平來診斷、描述數學教育中教思考的水平。

1.潛階段

該階段的課堂行為以“填鴨式”為主，教師一言堂，學生完全被動接受灌輸。

教學表現幾乎看不出“啟發式”特征或與引發學生思考行為有關聯。值得一提的是，并不是說這個階段沒有“教思考”，而是課堂提問主要是低層次、識記性的或無意義的問題。但是這些問題也許對特定群體有啟發思考的功能。

2.萌芽階段

該階段的課堂教學行為，只能在教學表現中看到少許的高層次思維和高層次認知行為活動的相關特征證據。即課堂教學中的“教思考”行為并不穩定，而且教會學生思考的行為數量少或是質量不高，處于嘗試的階段。

3.發展階段

該階段“教思考”的行為活動中，已經能經常在課堂活動中觀察到批判性思考、創造性提問和“問題解決”能力等教學活動。如概念教學中，能夠聯系現實情境，啟發學生獨立概括和抽象出概念，讓學生自主辨析概念的肯定例證和否定例證，列舉生活中的原型來解釋概念，概念的形式轉換以及與其他概念的聯系和區別等。

4.發達階段

當“教思考”處在發達階段時，教師能夠打破教材知識結構體系，知識呈現與學生自身的文化體系密切相關，有一定數量的個性化問題，高認知水平的問題設計著眼于最近發展區，且在教學過程中展現出建設性、高質量且具創造性的特點。

研究提供的四個等級階段，都是基于可觀察到的課堂教學行為表現。但是對教思考的課堂表現水準，需要體現數學學科特點和兒童認知規律、思維的實踐發展水平。如何更加準確、科學地刻畫教思考的水平，尚需要進一步研究。

總之，數學教育中的“教思考”，一方面，不僅是滿足不同能力、不同程度學生的學習需求，而且“教思考”在各門學科教育中屬“通法”，能夠提供幫助學生在生活和學習中發揮潛能的機會；另一方面，“教思考”促進學習者的學習內涵，從傳統以數學知識、記憶理解計算等基礎認知能力為主的學業或智力導向，轉向知識整合應用、高層次認知及情意表現的素養導向。故“教思考”的提倡與實踐，可促使更多學習者在非傳統學業或智力表現的領域中實現充分發展，當其在生活中和社會實踐中面對任何困擾時，都易“趨利避害”，產生有價值、有建設性的“問題解決”產物。

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