幾何雙分式布朗運動下歐式期權的定價

徐峰

摘要：為了體現金融資產的長記憶性，采用幾何雙分式布朗運動刻畫歐式期權標的資產價格變化的行為模式。建立了雙分式布朗運動環境下的歐式期權價值所滿足的偏微分方程，并通過邊界條件和變量代換得到該偏微分方程的解，即歐式期權的定價公式。

Abstract： In order to reflect the long memory property of the financial assets， this paper uses the geometric bifractional Brownian motion to capture the underlying asset of European option. Moreover， a partial differential equation formulation for valuing European option is proposed. Using the boundary condition and the method of variable substitution， this paper obtains the solution for this partial differential equation-the pricing formula for European option.

關鍵詞：雙分式布朗運動；歐式期權；長記憶性；定價

Key words： bi-fractional Brownian motion； European option； long memory； pricing

中圖分類號：F830.91 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2018）07-0197-03

0 引言

過去對期權定價的研究都是建立在標的資產服從幾何布朗運動的基礎上的，但是近年來，大量的實例都說明金融資產的價格存在多項分形特征，比如自相似性、長期記憶性等，市場并不能簡單的用布朗運動驅動的定價模型體現出來。為彌補上述模型缺陷，分數布朗運動應運而生[1]。

然而，文[2]中指出分數布朗運動不是半鞅，關于分數布朗運動的離散逼近很多學者都有所研究，還提出了直接將分數布朗運動應用與金融環境將會產生套利機會[3，4]，導致了分數布朗運動表現出不適用于刻畫金融資產價格變化的行為模式。基于此，部分學者開始研究修正的分數布朗運動，比如雙分式布朗運動、混合分數布朗運動等[5，6]，雙分式布朗運動在一定限制條件下是半鞅，并且具有自相似性和長記憶性的特征，因此，可被應用在期權定價領域。

本文假設標的資產服從幾何雙分式布朗運動，將歐式期權的定價問題轉化為一個偏微分方程，最后通過偏微分方程的求解得到了雙分式布朗運動驅動下的歐式期權的定價公式。

1 雙分式布朗運動與模型假設

1.1 雙分式布朗運動的定義與性質

1.2 模型假設

下面對金融市場做如下假設：

①無風險利率r為常數；

②沒有對交易頭寸方向的限制，允許買空賣空證券；

③市場無摩擦，即交易費用為零，無稅收，不存在無風險套利機會；

④標的資產（如股票）的價格變化過程St服從幾何雙分式布朗運動

2 主要結果與證明

3 結論

本文在股票價格受雙分式布朗運動驅動的假設下，利用偏微分方程的方法研究了歐式看漲看跌期權的定價問題。在定理3中，當K=1時，結果即為分數布朗運動下的歐式看漲期權的定價公式，當K=1，H=時，結果即為標準布朗運動下歐式看漲期權的定價公式。可見本文的結果推廣了歐式期權的定價。另外，本文的結果還可以推廣到混合雙分式布朗運動環境下的歐式期權定價。

參考文獻：

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