指向思維：小學數學核心問題設計的應有視角

未來是一個認知擴維、文化擴容的時代，知識學習必將讓位于智慧提升。從這個意義上說，課堂教學更應注重發展每個學生通過自身的思維過程將大眾的、公共的知識轉換成自我認知的能力，擁有獨立的、科學的思維方式和良好的、獨特的思維品格。針對數學課堂中教師提出問題瑣碎、封閉、缺少思維含量和挑戰性而導致學生思維碎片化、呆板化和淺表化的現狀，我們應該關注核心問題設計，用核心問題統整教學內容，促進學生有效探究、深度體驗、科學建構和整體認知，使得思維具有針對性和深刻性、開放性和靈活性、連貫性和生長性，最終學會思維、創新思維。

一、在沖突之處感悟，在感悟中創生

在知識更新日益加速的今天，學會學習比掌握知識更重要。教師要善于挖掘新知與舊知、經驗與現實、數學與生活之間的矛盾因素，并由此設計核心問題，引發學生產生強烈的認知沖突，讓他們充分感悟、體驗和復演，用自己的認知方式經歷人類創造知識的曲折歷程，甚至創造出獨特的、有意義的、屬于學生個體世界的知識，從而加深對知識的理解。

這里以蘇教版四年級上冊 《帶中括號的混合運算》的教學為例：

教師出示混合運算式題525÷（81－56）×3，要求學生說出運算順序后，組織交流互動。

師：想一想，不改變算式里每一個數和運算符號，不改變數和運算符號的順序，如果要最后一步計算除法，你們認為可以怎樣辦？

在短暫思考后，多數學生認為可以再添加一個括號。

師：為什么想到添加括號？ （稍作停頓）如果添加括號，怎樣區分原來和新添加的括號？

小組討論后，學生進行交流。

生1：因為小括號可以改變運算順序，所以我們想到再添一個括號。

生2：我們認為添加的括號應該和小括號不一樣。

為了讓大家能夠一目了然，教師讓學生板書一些不同的寫法。

生1：525÷＜﹙81－56﹚×3＞

生2：525÷ “﹙81－56﹚×3”

生3：525÷‖﹙81－56﹚×3‖

……

師：能發明新的括號，你們真了不起！仔細觀察一下黑板上的幾道算式，新括號的左半邊寫在什么位置？右半邊呢？ （稍作停頓）怎樣讓別人清楚地看出先算哪一個括號里面的運算呢？

生1：新括號的左半邊寫在小括號左半邊的前面，右半邊寫在3的后面。

生2：我們可以先算小括號里面的減法，再算新括號里面的乘法，最后算除法。

生3：先算小括號里面的減法，再算新括號里面的乘法，最后算新括號外面的除法。

接著，教師向學生介紹關于括號的數學史料以及運算規則，使得學生知曉新添加的括號可以用中括號表示，繼續添加的括號可以用大括號表示。

小學數學課程呈現的是一些已經證實的最基礎的數學知識，但對于學生來說則是全新的知識。教學中，教師應該對教材中呈現出來的靜態內容進行動態加工，使之具有矛盾沖突而充滿挑戰，從而點燃學生的創造欲望，甚至創生新知，而不是簡單讓學生按照冰冷的規定接受知識。在上述教學中，教師巧妙利用新舊知識間的矛盾設計核心問題，引發學生產生三次認知沖突，旨在激起新知與學生內部知識結構的相互碰撞，進而在沖突中感悟新知，創生新知。第一個問題 “不改變算式里每一個數和運算符號，不改變數和運算符號的順序，如果最后一步計算除法可以怎么辦”，引發了學生根據小括號的作用產生添加新的括號來改變運算順序的需求。第二個問題 “如果添加括號，怎樣區分原來和新添加的括號”，引發學生對添括號的行為進行反思，并調動已有的經驗，創造出與小括號不同的符號。第三個問題 “怎樣讓別人清楚地看出要先算哪一個括號里面的運算”，引發學生關注到小括號和新添加括號的運算順序，更好地理解四則混合運算規則。這樣教學，學生的理解就會更加深刻。我們知道，當學生的原有知識和經驗不能解釋新現象，不能解決新問題時，就會產生創生新知識的需要。學生長期經歷 “再創造”的過程，有利于不斷增強創新意識和創新能力。

二、在細微之處比較，在比較中分化

數學學科中有許多相似或相近的知識。教學中，將有聯系的、易混淆的知識對比呈現，并通過核心問題引導學生進行細致的觀察、對比、辨析，學生可以更加深刻地理解知識的本質屬性，揭示知識的內在規律，掌握知識之間的聯系與區別，消除模糊認識和迷思，促進知識分化和學生思辨力的發展，獲得精確的認知和深度的理解，進而形成良好的認知結構。

這里以蘇教版四年級上冊 《近似數》的教學為例：

在學會將一個數根據要求進行改寫和求近似數之后，教師組織比較練習。

先出示第一組練習：□里可以填哪些數？

（1）9□0000000≈10億

（2）9□1000000≈10億

學生獨立填寫后反饋：第1題、第2題都可以填5至9。

師：為什么這兩道題都可以填5至9呢？

生1：近似數是10億，只要看千萬位上的數，千萬位上滿5就可以向前一位進1，9億加1億是10億。

生2：近似數是10億，要用 “五入法”，需要看尾數的最高位，千萬位上最小填5，最大填9。

師：也就是說，用 “四舍五入法”求一個數的近似數，只要看尾數的最高位就可以了。

接著出示第二組練習：

（3）9□1000000≈9億

（4）9□0000000≈9億

交流時，學生對第3題的答案意見一致，認為可以填0至4。對第4題的答案則出現了分歧：大部分學生認為填1至4，還有少部分學生認為填0至4。

此時，教師引導學生展開討論：為什么第3題可以填0，而第4題不能填0呢？

生1：第4題如果填0，就等于9億了。第3題百萬位是1，所以填0后可以約等于9億。

生2：第4題填0后，左邊等于9億，右邊也是9億，應該用等號連接。

師：如果第4題填0，約等號兩邊的數的大小改變了嗎？（稍作停頓）這實際上就是以前學過的什么知識？

學生表示，第4題填0后數的大小沒有改變，實質上是以前學過的數的改寫。

師：想一想，數的改寫與求近似數有什么不同？

生1：數的改寫，前后兩個數的大小沒有變；求近似數，前后兩個數的大小變了。

生2：數的改寫用等號連接，求近似數用約等號連接。

……

在倡導學為中心的當下，教師依然應該發揮不可或缺的點撥與引領作用。當學生的思維出現迷思或陷入困頓時，教師應該適時介入，針對學生可能遭遇的思維斷點和內容難點、學習疑點和認知盲點設計核心問題，引導學生通過比較，不斷剝離數學知識的非本質屬性，揭示知識的本質屬性，逐步澄清模糊認識。在上面的教學中，學生在核心問題引導下進行了三次比較，厘清了數的改寫和求近似數的區別。

第一次是比較 “為什么這兩道題都可以填5至9”，使學生進一步掌握求一個數的近似數的方法，認識到采用 “五入法”求近似數時，應舍去尾數并向前一位進1。

第二次是比較 “為什么第3題可以填0，而第4題不能填0”，使學生認識到采用 “四舍法”求近似數時，應直接舍去尾數。因為第4題的這個數是特例，尾數全部是0，如果在方框里填0，前后兩個數就相等了。

第三次是比較 “數的改寫與求近似數有什么不同”，使學生在前兩次用具體的數來表達的基礎上進行概括性的表達，發現兩者在數值特征、連接符號、取值方法等方面的不同。像這樣，教師在關注表層數學知識的同時，注重揭示知識背后的數學觀念、基本思想、特殊經驗等，可以使得學生大腦中原本模棱兩可的概念、特征、性質、規律變得清晰、精確、深刻，加速知識分化，從而促進學生的思維向縱深處發展。

原發性肝癌是一種常見的消化系統惡性腫瘤，其發病率位居全球惡性腫瘤第 5 位[1]。在我國，乙型肝炎病毒感染是肝癌的主要致病因素之一，有學者認為糖尿病也是肝癌發生的獨立危險因素[2-4]。但由于種族、生活方式和主要發病因素的不同，研究結論尚存爭議。本研究為前瞻性隊列研究，旨在探討 2型糖尿病和乙型肝炎病毒相關肝癌發病的相關性及關聯強度，以期為肝癌的病因學研究和防治提供流行病學依據。

三、在生長之處拓展，在拓展中孕伏

數學知識之間存在著千絲萬縷的聯系。教學中，教師應立足教學內容整體，具有科學、適度的 “越位”意識，并準確把握知識內部的邏輯聯系，善于根據知識點的縱、橫向聯系來設計核心問題，誘發知識合理生長，引導學生將分散的知識點 “串珠成鏈”，學會結構性思考，推動學生的思維多向度打開并順勢向前邁出一步，為后續教學埋下伏筆。

這里以 “蘇教版”四年級 （下冊） “用數對確定位置”的教學為例：

在學會用數對表示平面上物體的位置后，教師引導學生進行鞏固練習。

出示： 在圖中 （圖 1） 描出 （1，1） （2，2）（3，3） （4，4） （5，5）所表示的點，再把這些點連接起來。

圖1

圖2

學生獨立完成后，教師呈現學生作業 （圖 2）并引導他們展開想象：如果把這條線段兩端延長，想一想，還會有哪些點在這條線上？你能用數對描述這些點的位置嗎？

在經過短暫的觀察、思考后，學生交流表達各自的想法：

生1：我覺得 （6，6）， （7，7）， （8，8）……會在這條線上。

生2：我覺得 （0，0）也會在這條線上。

生3：線段還可以往左下方延長，那么 （-1，-1）， （-2，-2）， （-3，-3）……也在這條線上。

根據學生的發言，教師順勢將線段延長，呈現圖3。

師：跟你們想的一樣嗎？ （學生點頭）像 （-1，-1）， （-2，-2）， （-3，-3）……是我們中學才能學到的知識，你們竟然能想到，真厲害！

接下來，教師引導學生繼續觀察：仔細觀察，這些數對有什么特點？你們能只用一個數對來表示具有這些特點的所有的點的位置嗎？

生1：我覺得可以用 （□，□）來表示。

圖3

生2：我覺得可以用 （x，x）來表示。

生3：我覺得可以用 （a，a）來表示。

……

在呈現不同表示方法的基礎上，教師追問學生怎么想到用符號或者字母來表示的，以及這樣表示有什么好處，使學生感悟到用符號或字母表達的簡潔性和概括性。

核心問題的設計，不能僅僅根據一節課的特定內容確定，還需要兼顧相關知識前后之間的聯系，甚至完整的知識體系，以提升學生整體思維的水平。教材中 “用數對確定位置”一課，方格圖上點的位置都是可以用有序正整數數對來表示的，即僅限于除x軸、y軸之外的直角坐標系第一象限的位置。在具體教學中，教師沒有局限于第一象限，而是借助兩個核心問題將坐標系的范圍擴展，并巧妙呈現四個象限的直角坐標系雛形。第一個問題 “如果把這條線段兩端延長，想一想，還會有哪些點在這條線上？你能用數對描述這些點的位置嗎？”旨在引導學生通過觀察、想象和操作，發現延長后直線上的點不僅可以用兩個正整數的數對表示，可以用 （0，0）表示，還可以用兩個負整數的數對來表示，進而感受數形結合的價值，初步感悟直角坐標系，為第三學段 “圖形與坐標”內容的學習做好孕伏。這其中，通過動態分步呈現直角坐標系，引導知識和學生思維生長。第二個問題 “這些數對有什么特點？你們能只用一個數對來表示具有這些特點的所有點的位置嗎？”旨在引導學生對符合條件的豐富數對進行比較、歸納、抽象和概括，建構起用字母來表征的數學模型。事實上，當我們把握整個小學乃至義務教育階段數學課程的知識結構與編排情況，能夠立足整體，發掘和利用知識的生長點和延伸點，就可以促進學生整體認知、整體建構，實現知識的結構化存儲和有意義生長。

四、在應用之處回歸，在回歸中聯結

數學源自現實生活，數學只有與生活相聯結，學生才能體會到數學的價值，促進數學的學習。教學中，教師應該借助核心問題，引導學生在 “知識世界”與 “生活世界”之間架設橋梁，在生活中應用數學，在數學中回望生活，提升主動應用知識解決問題的能力，增強學以致用的意識，促進學生思維的發展，直至沉著面對非定式、劣構的生活中的實際問題。

這里以 “蘇教版”四年級 （上冊） 《分段整理數據》的教學為例：

新知教學后，要求學生解決一個生活中的實際問題：鐵道部門規定，兒童身高在120厘米以下乘火車免費，120～150厘米之間享受半價票，你們班有多少人乘火車可以享受免票，有多少人需要購買全價票？

師：如果請一個人為我們班同學去買火車票，需要知道哪些信息？怎樣獲得這些信息？

生1：我們要知道一共有多少人和每個人的身高。

生2：第一步要收集數據，統計每個同學的身高。

生3：我們可以先分小組統計，再把它們合起來，這樣可以節省時間。

生4：要把收集到的數據分段整理，把身高平均分成幾段。

生5：我覺得可以把身高每20厘米分成一段。

生6：不對，按照鐵道部的規定，應該分成120厘米以下、120～150厘米、150厘米以上三段。

接著，學生先分小組按學號統計身高，再將各小組的記錄單合并成一張完整的記錄單，接著用畫“正”字的方法整理數據，最后填寫統計表。

四1班同學身高情況統計表2016年12月

在此基礎上，教師引導學生觀察表格，并思考以下問題：

（1）我們班同學乘火車時，是購買全票的人多，還是享受半價票的人多？四2班、四3班呢？你們還能想到什么？

（2）五年級學生購票會怎樣？三年級學生呢？

經過思考、討論，學生交流匯報：

生 1：我們班享受半價票的人多，四 （2）班、四 （3）班應該也是享受半價票的人多。

生2：我們學校四年級的學生享受半價票的人多。

生3：我們班沒有免票的，四 （2）班、四 （3）班可能有免票的，也可能沒有免票的。我們班購買全票的有1人，四 （2）班、四 （3）班不一定是1人。

生4：我覺得五年級買全票的人會變多，三年級免票的人會變多。

……

數學來自于生活，也應該回到生活中去。教師要善于借助核心問題，將數學融入學生豐富、生動的生活體驗中，激發和吸引學生主動與生活世界接觸和溝通。在上述教學中，教師一改直接給出原始數據和數據分段、只進行簡單數據解讀的做法，利用兩個核心問題讓學生經歷了收集數據、整理數據、分析數據的完整過程，讓學生深切體會到數學與生活的聯系。當教師提出 “請一個人為我們班同學買火車票，需要知道哪些信息？怎樣獲得這些信息？”的問題時，學生很容易產生從生活中收集數據并對數據進行整理的需求，進而根據已有經驗收集原始數據、分段整理原始數據。在觀察統計表后，教師提出第二個核心問題，不僅可以讓學生根據統計數據進行簡單分析，了解四 （1）班學生購買火車票的人數分布情況，還可以引導學生依據樣本數據做出推斷和解決問題，學會由局部推斷局部，由局部推斷整體，體會到生活中的現象具有一定規律性，生活中的規定存有一定合理性，感受到統計在日常生活中的應用價值。這樣回歸生活的教學處理，可以使得學生學會用數學的眼光觀察和審視生活世界，學會運用數學的思維分析和解釋生活現象，學會借助數學工具去探索和解決實際問題，進而感受和體驗數學的魅力和價值，逐步提高應用知識的意識，增強他們應對未來挑戰、探索未知領域和陌生世界的能力。

我們知道，思維力是一個人所必備的最為核心的素養，是發展高階認知能力的基石。我們應該讓核心問題成為發展學生思維力的腳手架和助推器，在教學中精心設計并引導學生深度討論核心問題，讓學生逐漸增強獨立思考、從已知出發探索未知、解決陌生問題的能力，實現創新、可持續地發展。

［1］魏光明．拉長建構過程：核心知識教學的應然選擇［J］．江蘇教育研究，2017，（4）．

［2］劉瑋．回到數學本身：讓兒童在思考中學習（上）［J］．小學數學研究，2017，（4）．

［3］張秋爽．兒童數學教育視角下的“應用意識”培養［J］．教學月刊·小學版，2016，（11）．