2017年高考全國新課標l卷“姊妹”壓軸題的分析與思考

邱云

2試題比較

兩道“函數與導數”壓軸題風格極為相似，是高考試題中難得一見的“姊妹題”，進一步分析可以發現，題1第Ⅱ問與題2第Ⅰ問難度相當，換言之，可以認為2017年的壓軸題是2016年壓軸題的“降級版”.

3試題特點

仔細研究發現，高考全國卷壓軸題并不神秘——函數與導數年年考，因其以能力立意為核心，考查的重點與難點雖是公開的秘密，但不影響試題的選拔性.

3.1立足基礎知識，考查核心素養 《考試說明》明確指出，要重點考查利用導數的方法研究函數的單調性、極值、最值，研究方程和不等式，近兩年壓軸題都是以包含簡單指數函數及二次函數的復合型函數為載體，考查運用導數工具分析函數的單調性與零點分布，在問題解決中，從多角度考查了基本初等函數的求導運算、導數的運算法則及工具性等基礎知識，但對學生的邏輯推理及數學運算素養提出了較高要求，

邏輯推理素養的考查主要表現在：運用導數分析復合函數的單調性及零點存在的條件，特別是在“f（ln4/a）>0，f（b）>0”的探尋過程中，對學生的理性思維和嚴謹推理是很大的挑戰；將函數的零點個數問題轉化為方程根的個數問題，進而轉化為兩函數圖像交點個數問題.

3.2注重學習潛能，突出通性通法

函數導數壓軸題綜合性強，蘊含的數學思想豐富，解題思路多樣，使學生個體思維的廣度、深度和靈活性得到充分展示，在氣氛緊張、時間緊迫的高考現場，要順利攻克此道難關，對邏輯思維能力、運算能力、觀察力、數感、式感及解題毅力與信心是個考驗，較好地考查了學生進一步學習的潛能，

從問題解決的角度看，此類壓軸題又非遙不可及，只要分析合理、推理得當，運用通性通法便可順利解答，這兩道題都是典型的“含參復合函數的零點分布問題”，是一種常見題型，解決問題的通法有二：一是直接分類討論，用導數研究函數的單調性并分析零點位置；二是分離參數，將零點個數轉化為兩函數圖象的交點問題，在題1解答中，解法1直接分類討論函數f（x）的單調性，進而分析其零點分布；解法2轉化為研究g（x）的圖象性質，從而獲得結果，兩種通法異曲同工、難度相當地求得以a∈（0，1）.可見，破解壓軸題“條條大路通羅馬”，而非“自古華山一條路”.

3.3命題風格穩定，問題互利互通

題1、題2表述簡潔、風格相似，問題設計也是互利互通，題1的第I、第Ⅱ問相當于題2的第I問，將題1稍加變式，便可考查題2的第Ⅱ問：

4教學啟示

4.1扎實基礎，練就三項“硬功夫”

“萬丈高樓平地起”，沒有堅實的基礎知識，能力也只是空中樓閣，若對基礎知識理解不到位、掌握不牢固、運用不靈活，就無法果斷選擇解題方向，無法順利推進解題思路，更難以靈光閃現生成數學直覺、產生解題頓悟，所以扎實的基礎是攻克難題、萌生靈感的前提，是養成程序化思考問題的習慣的關鍵，也是戰勝高考的后盾，在函數與導數綜合問題的復習教學中，要指導學生練就三種“硬功夫”.取值趨勢，以增加解題的嚴謹性和得分率.

4.2培養核心素養，以不變應萬變

高考對函數與導數的考查重點雖然集中在單調性、極值、最值和零點，試題構成元素也主要是e^x，Inx及一次、二次函數和分式函數，但是元素的復合形式、設問角度及參數調控多種多樣，不可能常有“姊妹題”，掌握以不變應萬變的的良方，唯有發展良好的數學核心素養，即應具備適應終身發展和社會發展需要的必備數學品格和數學關鍵能力，在導數綜合問題的解決中，必備的“關鍵能力”主要是邏輯推理與數學運算素養，

章建躍博士指出，理解數學、理解學生、理解教學是落實數學核心素養的關鍵，復習教學中，不宜篤信題海戰術從量上追求“練過”，而應著眼于發展核心素養從質上追求“練透”，若邏輯推理、數學運算等核心素養沒跟上，即使年年歲歲考題相似，還是歲歲年年熟而不會，例如，在類似題1的“零點問題”研究解決中，要幫助學生厘清思路、開闊思維；讓學生領悟解題路徑及運算要領，形成有論據、有條理、合乎邏輯的思維品質，熟練掌握運算法則、清晰選擇運算方法，若選擇解法1，思維程序如下：

在反思環節，引導學生進一步發現問題和提出問題：兩個零點滿足何性質（Xl+X2<-21na）？若f（x）只有一個零點、沒有零點情況如何？這類問題還有什么解法？通過這些系列問題的思考升華、自發感悟，培養思維的深刻性、廣闊性和靈活性，從而提升數學素養.endprint