q-Kampé de Fériet函數的簡化和求和公式

劉紅梅, 秦艷杰

(大連民族大學 理學院，遼寧 大連 116650)

1 預 備

對|q|<1，基本超幾何級數定義為[1]

式中：bj≠q-n(j=1,2,…,s),(x1,x2,…,xr;q)n=(x1;q)n(x2;q)n…(xr;q)n為升階乘乘積，其中的因子為升階乘，定義為

q-Kampé de Fériet函數是Kampé de Fériet函數的q-模擬，是雙變量基本超幾何級數，在1985年由Srivastava和Karlsson給出定義[2]

式中：|x|<1；|y|<1；|q|<1；i,j,k∈0。當λ=μ=r=s=1,u=v=0時，

式中：Φ(1)為相對常見的第一類q-Appell函數見文獻[1]283和[3]232。

2 基于Jackson變換的簡化公式

Jackson變換公式為

(1)

定理1Ω(m)為任意復數序列，假設下列級數都絕對收斂，有變換公式

(2)

(3)

證明利用式(1)，計算式(2)

(4)

在式(4)中，令m+n=N，化簡，可推導出式(3)。

推論1 假設下列級數都絕對收斂，有關q-KampédeFériet函數的簡化公式成立。

(5)

(6)

證明在定理1中，令Ω(m)=1，由q-二項式定理(見文獻[1]中公式(1.3.2))得

(7)

可得計算式(3)的內部求和公式為

經過化簡可以得到簡化公式(5)。

(8)

計算式(3)的內和，經過化簡立即可得公式(6),這個公式正好是文獻[9]中公式(2.2)的q-模擬。

3 基于Heine變換的簡化和求和公式

在這一節中，通過應用Heine的三個變換公式，又建立了三個一般的雙重q-級數變換和一些簡化公式。

首先，將定理1證明中的Jackson公式(1)替換為Heine變換公式(見文獻[1]中公式(1.4.1)，也可見文獻[10]中公式(E3.1a))

得到級數變換公式定理3。

定理2 對于任意復數序列Ω(m)，假設級數都絕對收斂，則

(9)

推論2 假設級數都絕對收斂，有求和與簡化公式

(10)

(11)

(12)

(13)

最后一個等式是來自q-二項式公式(7)，求和公式(10)得證。

定理2中令

并通過q-Pfaff-Saalschütz求和定理(見文獻[1]中公式(1.7.2))得

對式(7)中內部的和式進行計算，然后進行一些化簡，得到簡化公式(11)。

在定理2中令

然后利用求和公式(見文獻[1]中例2.14)

(14)

計算式(9)中內部和式，推導出另一個簡化公式(12)。另外，在定理2中令

并用公式(見文獻[1]中公式(3.10.9))

(15)

計算式(9)的內部和式，得到了式(13)。

式(10)等號右邊的式子與參數β和ε無關，這個求和公式可以在式(5)中直接令x=εy獲得。

其次，運用Heine的q-歐拉變換 (見文獻[1]中公式(1.4.3)或文獻[1]中公式(E3.1c))得

(16)

有如下雙重q-級數變換公式。

定理3 對于任意復數序列Ω(m),設級數都絕對收斂，有

(17)

(18)

證明重新計算式(17)，

運用公式(16)，并經過一些化簡，可得式(18)。

推論3 設級數都絕對收斂，有簡化公式

(19)

(20)

最后，給出第三個Heine變換(見文獻[10]中公式(e3.1b))，

(21)

類似于定理2和定理3的證明，通過Heine變換式(21)，得到了第三個變換公式。

定理4 對于任意復數序列Ω(m),設級數都絕對收斂，有

(22)

(23)

推論4 設級數都絕對收斂，有

(24)

(25)

(26)

然后經過一些化簡，得到簡化公式(24)。

在定理4中令

在式(23)中分別利用式(14)和(15)，可以得到另外兩個簡化公式(25)和(26)。

[1] GASPER G, RAHMAN M. Basic Hypergeometric Series [M]. second ed., Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004.

[2] SRIVASTAVA H M, KARLSSON P W. Multiple Gaussian Hypergeometric Series [M]. New York: Halsted Press, 1985.

[3] SLATER L J. Generalized Hypergeometric Functions [M]. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1966.

[5] JIA C Z, WANG T M. Reduction and transformation formulae for bivariate basic hypergeometric series [J]. J. Math. Anal. Appl., 2007, 328: 1152-1160.

[6] CHU W C, JIA C Z. Transformation and reduction formulae for doubleq-Clausen hypergeometric series [J]. Math. Methods Appl. Sci., 2008, 31: 1-17.

[8] LIU H M, WANG W P. Transformation and summation formulae for Kampé de Fériet series [J]. J. Math. Anal. Appl. , 2014, 409: 100-110.

[9] CVIJOVIC′D , MILLER A R. A reduction formula for the Kampé de Fériet function [J]. Appl. Math. Lett., 2010, 23:769-771.

[10] CHU W C , CLAUDIO L D. Classical Partition Identities and Basic Hypergeometric Series [M].Lecce-Italia: Università di Lecce, 2004.