帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)規(guī)律的可視化研究

姚琴芬 束正煌

(江蘇開放大學(xué)通識(shí)教育學(xué)院，江蘇 南京 210036)

研究帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的規(guī)律時(shí)，可以利用Matlab強(qiáng)大的模擬仿真功能[1,2]，把復(fù)雜、抽象的物理規(guī)律，通過直觀、生動(dòng)的物理圖像展現(xiàn)出來。同時(shí)，我們可以隨意更改仿真參數(shù)，輸出不同條件下的仿真圖像。對(duì)于有些解析法無(wú)法求解的復(fù)雜問題，只要給定初始條件，我們也可以通過Matlab軟件的強(qiáng)大計(jì)算功能進(jìn)行數(shù)值求解，這一點(diǎn)，在實(shí)際工作中有著重要的意義。

1 幾個(gè)應(yīng)用實(shí)例[3]

(1) 磁聚焦[4,5]

如圖1所示，一束質(zhì)量為m、帶電量為e的電子，先經(jīng)過較大的軸向電壓加速，獲得相同的水平速度vz；再經(jīng)過徑向交變電壓發(fā)散，獲得不同的但很小的徑向速度vr；然后進(jìn)入軸向勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中做螺旋運(yùn)動(dòng)。下面分析這束帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡：

圖1 磁聚焦原理圖

螺旋運(yùn)動(dòng)的半徑由徑向速度vr決定，其值為

(1)

根據(jù)公式(1)，各粒子將作半徑不同的螺旋運(yùn)動(dòng)。

螺旋運(yùn)動(dòng)的螺距由水平速度vz決定，其值為

(2)

根據(jù)公式(2)，由于各粒子具有相同的水平速度vz，所以，它們的螺距相同。下面，根據(jù)粒子的運(yùn)動(dòng)方程，用Matlab描繪其運(yùn)動(dòng)軌跡。

由于電子帶負(fù)電荷，其運(yùn)動(dòng)方程可表示為

(3)

其中，Cx,Cy和Cz是常數(shù)，如果t=0時(shí)，x=y=z=0，則Cx=-R,Cy=Cz=0。

設(shè)發(fā)散角的正切tanθ=vr/vz，則半徑可表示為

(4)

以管長(zhǎng)L為坐標(biāo)單位，取周期T為時(shí)間單位，運(yùn)動(dòng)方程可化為約化形式，即

(5)

其中，t′=t/T。取發(fā)散角θ為參數(shù)向量，取時(shí)間t為自變量向量，形成矩陣，計(jì)算三維坐標(biāo)，用三維矩陣畫線法畫出軌跡曲線族如圖2所示：

圖2 電子束磁聚焦軌跡圖

從圖2可以看到，由于各個(gè)電子的徑向速度不同，因此，每個(gè)電子各自以不同的半徑做螺旋運(yùn)動(dòng)，但由于各電子具有相同的螺距，因此，經(jīng)過一個(gè)周期后，它們又重新會(huì)聚到同一點(diǎn)，這種現(xiàn)象叫做磁聚焦。改變觀察角度，從右向左看，可以看到，所有電子的運(yùn)動(dòng)軌跡都是圓，如圖3所示。且電子束的發(fā)散角越大，它做螺旋運(yùn)動(dòng)的半徑就越大，每經(jīng)過一個(gè)周期，電子束就會(huì)聚一次。

圖3 磁聚焦側(cè)面示圖

程序如下：

clear %清除變量

theta=-2:0.8:2; %發(fā)散角向量的度數(shù)

th=theta*pi/180; %化為弧度

n=1; %整數(shù)(焦點(diǎn)或周期個(gè)數(shù))

t=linspace(0,n); %時(shí)間向量

[TH,T]=meshgrid(th,t); %矩陣

X=tan(TH)/2/pi/n.*(cos(2*pi*T)-1);

%x坐標(biāo)

Y=tan(TH)/2/pi/n.*sin(2*pi*T);

%y坐標(biāo)

Z=T/n; %z坐標(biāo)

figure %創(chuàng)建圖形窗口

box on %加方框

grid on %加網(wǎng)格

view(-20,5) %設(shè)置視角

fs=16; %字體大小

r=max(abs(X(:))); %圓的半徑

x=r*cos(th); %圓的橫坐標(biāo)

y=r*sin(th); %圓的縱坐標(biāo)

hold on %保持圖像

%畫磁感應(yīng)線

pause %暫停

view(90,0) %設(shè)置左視角

axis equal tight %使間隔相等

《莊子》有篇《不龜手之藥》（龜通皸，皮膚皸裂之意），講了一個(gè)故事：宋國(guó)有一個(gè)善于制造防治皮膚凍裂的藥（類似于現(xiàn)在的防凍護(hù)手霜）的人，世世代代以在水中漂洗棉絮為業(yè)。有一個(gè)客人聽說了，請(qǐng)求用百金購(gòu)買這個(gè)藥方。宋國(guó)人把族人召集在一起商量說：“咱家世世代代以在水中漂洗棉絮為業(yè)，不過賺幾個(gè)小錢兒罷了。現(xiàn)在一下子賣掉技術(shù)就能得到百金，那就賣給他吧。”客人得到秘方以后，用它來游說吳王。正趕上越國(guó)向吳國(guó)發(fā)難，吳王派客人作大將，冬天與越國(guó)人在水中作戰(zhàn)，因?yàn)榭腿擞兄谱髯o(hù)手霜的秘方，將士們免受凍傷，吳軍大獲全勝。論功行賞，吳王賞給這個(gè)客人一塊封地。

(2) 帶電粒子在非勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律[6，7]

如圖4所示： 一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子，以初速度v0，從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)，在xy平面內(nèi)，沿與x軸夾θ角的方向進(jìn)入非均勻磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小與x成正比，B=B0x，方向沿x正方向。試寫出該帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方程，并描繪它在這一非均勻磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡[8](忽略重力作用)。

圖4 帶電粒子進(jìn)入非均勻磁場(chǎng)

分析求解： 該帶電粒子在非均勻磁場(chǎng)中僅受洛倫茲力的作用，因此運(yùn)動(dòng)方程為

(6)

(7)

根據(jù)速度與位置的關(guān)系方程有

(8)

在初始條件t=0時(shí)，x=y=z=0，vx=v0cosθ，vy=v0sinθ，vz=0。聯(lián)立求解(7)、(8)兩式組成的6個(gè)一階微分方程組，可以得到3個(gè)位置(x,y,z)以及3個(gè)分速度(vx,vy,vz)，但求解過程比較復(fù)雜。我們利用Matlab強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，編制下列程序，可很方便地解出方程組，并描繪出帶電粒子在這一非均勻磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡。假設(shè)v0=1000m/s，θ=30°，qB0/m=100。

程序如下：

%電荷在非均勻磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

clear

global A; %定義全局變量

A=100;v=1000;sita=pi/6; %設(shè)定qBo/m，初速度，入射角

vx=v*cos(sita);vy=v*sin(sita);

%計(jì)算x,y方向的初速度

tspan=[0 0.1]; %設(shè)定積分時(shí)間

subplot(2,2,1) %以下為描繪各方向的運(yùn) 動(dòng)軌道

plot(t,y(:,1)); %繪制一般二維曲線

%comet(t,y(:,1)); %繪制動(dòng)態(tài)二維軌跡

subplot(2,2,2)

plot(t,y(:,3));

%comet(t,y(:,3));

subplot(2,2,3)

plot(t,y(:,5));

%comet(t,y(:,5));

subplot(2,2,4)

plot(y(:,3),y(:,5));

%comet(y(:,3),y(:,5));

figure %新開圖像窗口plot3(y(:,1),y(:,3),y(:,5)); %繪制一般三維曲線

%comet3(y(:,1),y(:,3),y(:,5));

%繪制動(dòng)態(tài)三維軌跡

函數(shù)文件是一個(gè)獨(dú)立文件，文件名為dzc.m

%電荷在非均勻磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的微分方程

function yp=dzc(t,y)

global A; %定義全局變量yp=[y(2) 0 y(4) A*y(6)*y(1) y(6)-A*y(4)*y(1)]; %寫入微分方程

程序通過求解方程組，得到了全部位置和速度分量與時(shí)間點(diǎn)的數(shù)值關(guān)系，因此，運(yùn)行程序后，可一一畫出帶電粒子在非均勻磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡圖如圖5所示。

圖5 帶電粒子在非均勻磁場(chǎng)中各個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)圖像

從圖5可以清楚地看到：在x方向，帶電粒子因沒有受到任何力的作用而作勻速直線運(yùn)動(dòng)；在y和z方向，帶電粒子在磁場(chǎng)與x成正比增強(qiáng)的洛倫茲力的作用下，運(yùn)動(dòng)軌跡呈半徑逐步變小的螺旋形[9]。圖6是帶電粒子在三維空間中的螺旋形運(yùn)動(dòng)軌跡。

圖6 帶電粒子在非均勻磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡

2 結(jié)語(yǔ)

通過Matlab模擬仿真技術(shù)，不僅可以算出解析法無(wú)法計(jì)算出來的結(jié)果，而且能把帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡直觀、準(zhǔn)確地描繪出來，通過動(dòng)畫觀察物理過程的細(xì)節(jié)[10]，不同參數(shù)的自由選取，使學(xué)生能更透徹地理解物理現(xiàn)象及規(guī)律背后的奧秘，同時(shí)，還能培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)值計(jì)算和模擬[11]解決物理問題和其他工程問題的興趣與能力。

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