雙圓弧斜齒齒輪泵脈動特性分析及齒形設計

李閣強 張龍飛 韓偉鋒 鄧效忠 馮 勇

1.河南科技大學機電工程學院，洛陽，471003 2.盾構及掘進技術國家重點實驗室，鄭州，450001 3.河南科技大學機械裝備先進制造河南省協同創新中心，洛陽，471003

0 引言

針對漸開線齒輪泵存在的流量脈動大、噪聲大、徑向力不平衡等問題[1]，國內外學者提出了一些解決方案，如張靜等[2]、楊國來等[3]采用斜齒代替直齒傳動，宋愛平等[4]采用一種沿齒寬方向呈圓弧形狀的齒形齒輪代替直齒傳動，有效改善了流量脈動問題；劉元偉等[5]設計的單圓弧齒輪泵在理論上無脈動現象，但齒輪加工復雜，承載能力較低。力士樂公司的雙圓弧斜齒輪泵噪聲比普通齒輪泵平均降低11dB(A)，且流量與壓力脈動遠低于普通外嚙合齒輪泵，與內嚙合齒輪泵相當[6]。目前，對雙圓弧斜齒齒輪泵的排量計算方法及流量脈動特性等尚無系統的理論分析，國內更沒有相關產品。

筆者以雙圓弧斜齒齒輪泵為對象，利用容積變化法推導出泵的理論排量計算公式，對比最大瞬時排量與最小排量得出其脈動特性，以正弦曲線為過渡曲線，依據齒輪共軛原理，得出雙圓弧斜齒輪端面齒廓方程。

1 雙圓弧斜齒輪及嚙合原理

雙圓弧齒輪是齒廓為圓弧形的點嚙合齒輪，把兩個單圓弧齒輪的凸凹齒廓組合在一個齒輪的齒廓上，即由兩段圓弧加一定的過渡曲線構成。如圖1所示，圓弧a1b1為齒頂圓弧，圓弧ba為齒根圓弧，兩圓弧半徑相同(為了避免齒輪在嚙合過程中產生卡死現象及噪聲，在實際制造中，齒根圓弧半徑稍大于齒頂圓弧半徑)，圓弧中心在節圓上。b1b為過渡曲線，與齒頂齒根圓弧分別相切于b1點和b點(過渡曲線可以是直線、拋物線、正弦線、余弦線等[7])。

圖1 雙圓弧齒輪端面齒廓Fig.1 Transverse profile of double-circular-arc gear

雙圓弧齒輪傳動在同一個端截面中僅有一點接觸，為了保證連續傳動，必須做成斜齒，且兩齒輪螺旋角大小相等、方向相反，軸向重合度大于1。雙圓弧斜齒輪傳動具有接觸強度高、彎曲強度高、使用壽命長、加工工藝簡單等優點[8]，因此，以雙圓弧斜齒輪代替普通漸開線齒輪作為齒輪泵運動副，無論在平穩性、力矩還是在使用壽命方面，都比普通漸開線齒輪有很大優勢。

較普通漸開線齒輪，雙圓弧斜齒輪嚙合重疊系數大，傳動平穩，嚙合為一點連續接觸(在同一個端截面中僅有一點嚙合，在不同端截面中各點依次嚙合)，即在瞬時齒面可能同時存在兩個接觸點(圖2中1、2兩點)，所以作為泵，不會像漸開線齒輪泵那樣產生困油現象。

圖2 雙圓弧齒輪接觸點分布Fig.2 Contact point distribution of double-circular-arc gear

如圖3所示，雙圓弧斜齒輪的嚙合線為一條“8”字線，嚙合過程中始終是凹面與凸面嚙合，這與內嚙合齒輪的嚙合特征相同，齒面間的接觸應力遠小于凸面與凸面間的接觸應力，相對滑動較小，因此壽命較長[9-10]。同時，一對雙圓弧斜齒輪嚙合過程中，齒頂與齒根也參與嚙合，連續的齒面接觸降低了工作噪聲，恒定齒面接觸幾近以連續和無聲的方式輸送液壓流體。

圖3 雙圓弧斜齒輪的嚙合線Fig.3 Meshing lines of double-circular-arc helical gear

普通漸開線外嚙合齒輪泵的齒輪重合度大于1，即在前一對齒輪尚未脫開嚙合之前，后一對齒輪已經進入嚙合，兩對輪齒同時嚙合時，它們之間形成一個與吸油腔、壓油腔不相同的閉死容積，此即為困油現象，如圖4a所示。雙圓弧斜齒齒輪泵的齒輪嚙合方式為一點連續式，端面重合度小于1，軸向重合度大于1，因此不會產生困油現象(圖4b)，克服了困油現象造成的附加載荷，減小了機件的磨損、振動和噪聲。

(a)漸開線齒輪

(b)雙圓弧齒輪圖4 雙圓弧齒廓和漸開線齒廓比較示意圖Fig.4 Sketch map of double circular arc tooth profile and involute tooth profile

2 雙圓弧斜齒輪端面齒形設計

進行雙圓弧斜齒輪齒廓設計，首先需確定過渡曲線形式[11]，過渡曲線有多種選擇，以正弦曲線為過渡曲線的齒輪周節短、有效齒高大、輸出排量大[12]。同時，選擇較小的壓力角，減小了軸承的載荷，為實現泵的高壓化創造了條件。以正弦曲線為過渡曲線的端面齒廓方程設計如下。

如圖5所示，節圓相同的主動輪O1和從動輪O2，過主動輪圓心O1作射線交主動輪節圓于s點，∠AO1P=β=π/(2z)(z為齒數)，任意設過A點的一條正弦曲線L為

(1)

式中，r為齒輪節圓半徑；t為參變量；t0為初始值；s為過渡曲線到x軸最大坐標值的控制系數；n為控制正弦曲線周期的常數。

圖5 雙圓弧端面嚙合分析圖Fig.5 Double-circular-arc end face meshing analysis diagram

設過正弦曲線L上A點的切線與x軸交于點D，令A點壓力角為α，由圖5顯見，∠ADP=β+α。

對于A點，有

(2)

式中，tA為A點變量參數t的值。

由式(2)可得

(3)

(4)

切線AD的斜率為

(5)

x1=1.5r即n(1.5-t0)=π/(2z)時，y有極大值，求得

(6)

將式(4)、式(6)代入式(5)可得

(7)

綜上所述，在齒數z、壓力角α已知的情況下，可解出n、tA、t0，即可得出正弦曲線L。

在正弦曲線L上任取一點E，令其法線過節點P(r,0)，則曲線E點的法線方程為

(8)

E點坐標分量為

(9)

式中，tE為E點變量參數t的值。

將式(2)、式(5)及P點坐標代入式(8)可得

(10)

如圖5所示，以節點P為圓心，PE為半徑作圓弧EE′，EE′為主動輪O1的齒根圓弧，亦為從動輪O2的齒頂圓弧。

由此可得，齒頂(根)圓弧半徑r1為

(11)

因r=mz/2，可令齒高系數

(12)

在齒輪泵齒輪副設計中，一般認為壓力角為14.5°有利于減小軸承載荷、徑向力，提高泵的綜合性能。當壓力角α=14.5°時，不同齒數z下tA、t0、n、tE、f1的值如表1所示。

表1 齒形設計參數(α=14.5°)

確定齒輪O1上的一段曲線方程后，可通過齒輪嚙合共軛原理[13-16]求得齒輪O2與之相共軛的一段曲線方程，亦可通過齒輪O2上的一段曲線方程得到齒輪O1上的曲線方程，具體求解如下。

如圖6a所示，坐標系S1(O1x1y1z1)、S2(O2x2y2z2)是兩齒輪嚙合傳動空間固定坐標系，z1軸與z2軸分別與兩齒輪軸線重合。x1軸與x2軸重合，它們的方向即為兩軸的最短距離方向，它們之間的距離即為中心距2r。

坐標系Sm(O1xmymz1)、Sn(O2xnynz2)分別是與兩齒輪固連的坐標系，在起始位置時，它們分別與坐標系S1、S2重合。齒輪分別繞z1軸、z2軸轉動，經過一段時間后，坐標系Sm(O1xmymz1)、Sn(O2xnynz2)運動到圖6a所示位置時，齒輪對應轉角為θ，根據圖中所示坐標關系可以得到由坐標系Sm(O1xmymz1)變換到Sn(O2xnynz2)的坐標變換矩陣：

(13)

在平面坐標系O1x1y1中，曲線EA1是曲線EA共軛運動中展成的一段共軛曲線，它在平面坐標系O2x2y2中的方程可通過坐標矩陣Mnm得到：

(14)

將曲線EA1方程代入式(14)可得

(15)

同理，如圖6b所示，齒輪繼續分別繞z1軸、z2軸轉動，經過一段時間后，固連坐標系運動到Sm(O2xmymz2)、Sn(O1xnynz1)時，齒輪對應轉角為θ+β，根據圖中所示坐標關系可得曲線AA′在平面坐標系x1O1y1中的方程：

(16)

(a)齒輪轉角為θ

(b)齒輪轉角為θ+β圖6 雙圓弧斜齒輪嚙合傳動空間坐標系Fig.6 Spatial coordinate system of double circular helical gear meshing drive

在平面坐標系O1x1y1中，曲線上E點的法線過節點P，PE為齒根圓弧半徑，設齒根圓弧CE的方程為

(17)

通過坐標變換以及嚙合原理，可得平面坐標系O1x1y1中齒頂圓弧AA′的方程：

(18)

嚙合線是齒輪齒面上的理論接觸點在固定坐標系中的集合，所以將理論接觸點在動坐標系中的坐標轉換到固定坐標系中的坐標值即可求出嚙合線方程式，故PE部分的嚙合線方程可通過坐標變換得到：

(19)

至此，通過坐標變換以及嚙合原理，完成了以正弦曲線為過渡曲線的雙圓弧斜齒齒輪泵的端面齒廓方程的求解。

3 雙圓弧斜齒齒輪泵排量計算及脈動分析

圖7 曲線ABO旋轉掃過的面積Fig.7 Area of curve ABO rotation swept

如圖8所示，當齒輪轉動ξ角度即由圖示實線嚙合狀態轉動至虛線嚙合狀態時，雙圓弧齒輪泵的容積變化為

V=V1+V2-V3+V4

式中，V1為ΔO1A11A12的對應容積；V2為ΔO2A21A22的對應容積；V3為梯形O1B1B2O2的對應容積；V4為梯形O1C1C2O2的對應容積。

圖8 雙圓弧直齒齒輪泵嚙合分析圖Fig.8 Meshing analysis diagram of double circular arc straight gear pump

可得壓油腔排出的容積：

(20)

式中，R為雙圓弧齒輪節圓半徑，R=(a+Δa)/2；a為齒輪中心距；Δa為齒輪中心距誤差；ra為齒輪齒頂半徑；ξ為齒輪轉角；β為雙圓弧直齒輪1/4周節所對應的弧度。

由β=π/(2z)可得齒輪轉動角度ξ時，壓油腔排出的容積：

(21)

壓油腔壓出的液體瞬時流量為

(22)

式中，ω為齒輪轉角ξ所對應的角速度。

對微元薄齒x進行積分可得泵的瞬時流量

(23)

式中，b為齒寬。

泵旋轉一周的排量為

(24)

式中，T為齒輪轉一周所需要的時間，T=2π/ω。

雙圓弧斜齒輪可視為由無數個無限薄的雙圓弧直齒輪連續轉過1個相位角疊加而成，其流量輸出特性可由距基準面為任意距離無限薄的雙圓弧直齒輪的流量特性通過積分得到。距基面x處(沿齒寬方向)嚙合點所對應的轉角為

(25)

式中，β0為雙圓弧斜齒輪螺旋角；φ1為齒輪端面轉角。

厚度為dx的雙圓弧斜齒輪泵的瞬時排量為

(26)

式(26)是一個以2Nπ/z(N為正整數)為周期的連續函數，且在一個周期內，函數左右對稱，所以只需要考慮在[-π/z,π/z]內的函數變化即可得到整個區間上的函數特性，即輸出流量的脈動特性。

如圖9所示，齒寬為b處的波形比齒寬為零處的波形超前一個相位角(btanβ0)/r，假設F點坐標為-π/z，B點坐標為-π/z，則D點坐標為π/z-(btanβ0)/r，假設齒寬為零處的波形在第N-1個周期，則齒寬為b處就存在第N-1和第N個周期的波形，由于不同周期內的波形表達式不同，故應該分為兩個區間分別進行討論。

圖9 雙圓弧斜齒輪泵輸出瞬時排量示意圖Fig.9 Output instantaneous displacement of double circular arc helical gear pump

(27)

令dV/dφ1=0，可得

(28)

(29)

(30)

令dV/dl2=0，可得

(31)

由此可得，當l2=b/2時，該函數有極小值。

(32)

通過上述分析計算可得雙圓弧斜齒齒輪泵排量的最大值與最小值，由最大值和最小值的差即可得到該泵的脈動特性：

(33)

由式(33)可知，理論上雙圓弧斜齒齒輪泵的流量脈動趨于零。

4 流量脈動仿真分析

為驗證流量脈動理論計算的正確性，假定雙圓弧斜齒輪端面模數m=7.5 mm，齒數z=7，齒寬b=45 mm，壓力角α=14.5°，螺旋角β0=28°，可得齒頂、齒根圓弧半徑r1=f1m=5.204 mm，節圓直徑r=mz=52.5 mm，齒頂圓直徑Da=D+2r1=115.408 mm，齒根圓直徑Db=D-2r1=94.592 mm，D為節圓直徑。雙圓弧斜齒齒輪泵的簡易模型如圖10所示。采用有限元軟件ANSYS/Workbench中的前處理模塊(ICEM)、分析計算模塊(Fluent)，并結合三維動網格技術，對比分析齒輪參數相同的雙圓弧斜齒輪泵和普通漸開線斜齒輪泵的流量脈動。

圖10 雙圓弧斜齒齒輪泵簡易模型Fig.10 Simple model of double circular arc helical gear pump

應用ICEM對雙圓弧斜齒輪泵的流體域進行網格劃分；由于齒輪泵中左右齒輪嚙合旋轉，即流動要素是隨時間發生變化的，因此采用非定常流動(Transient)模塊描述其流動特性；由于尺寸旋轉較大將導致較大的逆壓力梯度，所以采用Models節點中的Realizable k-epsilon湍流模型；定義進出口邊界類型分別為pressure-inlet、pressure-outlet，設置進口總壓力為0，出口總壓力為25 MPa，設置湍流方式為Intensity and Viscosity Ratio，湍流強度為5%，湍流黏度比為5。動網格采用彈簧光順法(Smoothing)以及局部網格重構法(Remeshing)。設置網格重構方法為local cell和local face，重構頻率參數為1；齒輪泵的流量脈動仿真只有左右兩個齒輪嚙合旋轉，因此可采用運動函數文件(profiles)定義兩個齒輪旋轉；定義左右齒輪為剛體運動，齒輪上下壁面為變形區域，設置變形體型為Plane(設置區域節點只能在該平面上移動)。

在Monitors節點下設置Surface Monitors，以定義齒輪泵出口流量監視器，采用Hybrid Initialization方法初始化，設置時間步長為5×10-6s，迭代次數為3000，內迭代次數為40，計算后可得雙圓弧斜齒輪泵流量監測曲線,如圖11所示，Y軸代表負值方向，表示流體流出計算域。由圖11可以看出，在開始階段，兩種齒形齒輪泵流量持續增大，隨后輸出流量呈現出周期波動，波動間隔為齒輪泵的旋轉周期，可明顯看出雙圓弧斜齒輪泵的流量脈動遠小于普通漸開線斜齒輪泵的流量脈動。

圖11 齒輪泵流量監測曲線Fig.11 Flow monitoring curve of gear pump

5 結論

(1)提出將雙圓弧斜齒輪作為齒輪泵的運動副，并證明其可以有效解決普通漸開線外嚙合直齒齒輪泵流量脈動大、噪聲大、困油現象嚴重等問題。

(2)采用正弦曲線為過渡曲線進行齒形設計，具有較大的有效齒高，同時可選擇較小的壓力角，達到了增大輸出排量、減小軸向載荷，以達到高壓化的目的。

(3)利用齒輪嚙合共軛原理給出了雙圓弧斜齒輪的端面齒廓方程設計方法，為實現齒輪泵的高性能提供了一種解決方案。

(4)采用有限元軟件ANSYS/Workbench，結合三維動網格技術，對比分析齒輪參數相同的雙圓弧斜齒輪泵和普通漸開線斜齒輪泵的流量脈動，得出雙圓弧斜齒輪泵的流量脈動遠小于漸開線斜齒輪泵的流量脈動。

[1] EMILIANO M, GIORGIO D, ALESSANDRO R. Dynamic Behavior of Gear Pumps: Effect of Variations in Operational and Design Parameters[J]. Meccanica 2011, 46(6): 1191-1212.

[2] 張靜, 史偉東, 胡亮.斜齒輪泵流量及其流量脈動特性分析[J]. 液壓氣動與密封, 2016, 36(6): 8-12.

ZHANG Jing, SHI Weidong, HU Liang. The Characteristic Analysis on Flow Rate and Flow Pulsation of Helical Gear Pump[J]. Hydraulics Pneumatics & Seals, 2016, 36(6): 8-12.

[3] 楊國來, 張曉麗, 李文祺. 基于MATLAB的漸開線外嚙合斜齒輪泵流量脈動特性的仿真[J]. 液壓與氣動, 2015 (2): 55-58.

YANG Guolai, ZHANG Xiaoli, LI Wenqi. MATLAB-based Flow Pulsation Characteristic Simulation for Involute Meshing External Helical Gear Pump[J]. Chinese Hydraulics & Pneumatics, 2015 (2): 55-58.

[4] 宋愛平, 周驥平, 吳偉偉，等. 弧齒齒輪泵瞬間流量及其脈動特性研究[J]. 中國機械工程, 2009, 20(19): 2315-2319.

SONG Aiping, ZHOU Jiping, WU Weiwei, et al. Research on Instant Flow Characteristic and Pulsation of Arch Gear Pump[J]. China Mechanical Engineering, 2009, 20(19): 2315-2319.

[5] 劉元偉, 崔光宇. 單圓弧齒輪泵輸出特性分析[J]. 大連交通大學學報, 2008,29(4): 45-47.

LIU Yuanwei, CUI Guangyu. Analysis of Single Arc Gear Pump for Flow Output Property[J]. Journal of Dalian Jiaotong University, 2008, 29(4): 45-47.

[6] 張海平. 德國漢諾威2011展會觀摩報告[J]. 液壓氣動與密封, 2011, 31(6): 5-9.

ZHANG Haiping. Report about Hannover Messe[J]. Hydraulics Pneumatics & Seals, 2011, 31(6): 5-9.

[7] LIU Yuanwei, FAN Jia. Design of Asymmetric Double Circular Arc Gear for Large-scale High-Pressure Gear Pumps[J]. Advanced Materials Research. 2011, 181/182: 361-365.

[8] 張國賢. 外嚙合圓弧齒輪泵[J], 流體傳動與控制, 2012 (1): 53-55.

ZHANG Guoxian. Outer Meshing Circular Arc Gear Pump[J], Fluid Power Transmission and Control, 2012(1): 53-55.

[9] ZHOU Yang, HAO Shuanghui, HAO Minghui. Design and Performance Analysis of a Circular-arc Gear Pump Operating at High Pressure and High Speed[J]. Journal of Mechanical Engineering Science, 2016, 230(2): 189-205.

[10] LIU Yuanwei, FAN Jia. Study of Tooth Profile Design with Asymmetric Double Circular Arc Gears for Pumps[J], Applied Mechanics & Materials. 2010, 43: 409-413.

[11] 徐文博,劉世軍,李志勝. 雙圓弧齒輪的精確建模與動態接觸分析[J]. 機械傳動, 2013, 37(1): 68-70.

XU Wenbo, LIU Shijun, LI Zhisheng. Research on Accurate Modeling and Dynamic Contact Analysis of Double Circular Arc Gear[J]. Mechanical Transmission, 2013, 37(1): 68-70.

[12] 周洋. 高性能圓弧齒輪泵關鍵技術研究[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工業大學, 2016.

ZHOU Yang. Research on the Key Technologies of High Performance Circular Arc Gear Pump[D]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2016.

[13] 陳兵奎, 梁棟, 高艷娥. 齒輪傳動共軛曲線原理[J]. 機械工程學報, 2014, 50(1): 130-136.

CHEN Bingkui, LIANG Dong, GAO Yane. The Principleof Conjugate Curves for Gear Transmission[J]. Journal of Mechanical Engineering. 2014, 50(1): 130-136.

[14] CHEN C K, YANG S C. Geometric Modelling for Cylindrical and Helical Gear Pumps with Circular Arc Teeth[J]. Journal of Mechanical Engineering Science, 2000, 214(4): 599-607.

[15] 陳兵奎, 李海翔. 漸開弧面齒輪的形成原理與數學模型[J]. 機械工程學報, 2012, 48(3): 57-62.

CHEN Bingkui, LI Haixiang. Generation Principle and Mathematical Models of Involute-circular Gear[J]. Journal of Mechanical Engineering. 2012, 48(3): 57-62.

[16] 唐進元, 周煒, 陳思雨. 齒輪傳動嚙合接觸沖擊分析[J]. 機械工程學報, 2011, 47(7): 22-30.

TANG Jinyuan, ZHOU Wei, CHEN Siyu. Contact-impact Analysis of Gear Transmission System[J]. Journal of Mechanical Engineering， 2011, 47(7): 22-30.