基于Matlab的數字圖像離散傅里葉變換及應用

趙宇杰 石海麗 趙彥敏 高楠 蘭州城市學院電子與信息工程學院

1 緒論

圖像是人們獲取信息的主要形式之一，要對圖像進行有效和快速的處理和分析，可采用空間變換、傅里葉變換、離散余弦變換等間接處理技術，能夠減少計算量、提高效率。本文闡述了數字圖像的離散傅里葉變換的基本原理，并用Matlab來實現數字圖像的頻域正變換、低通或高通濾波和頻域逆變換。

2 數字圖像的離散傅里葉變換及應用

2.1 原理

利用離散傅里葉變換（DFT），對數字圖像的信號實現從空間域到頻率域的變換，使數字信號處理中常用的頻域處理技術能夠直接應用于數字圖像的處理，能夠大大拓展圖像處理的思想和方法。假設表示一幅經過均勻采樣并進行灰度量化后的M行N列的二維數字圖像的離散函數（即灰度分布函數），其DFT定義為

其反變換為

2.2 應用實例

以提高圖像清晰度、改善圖像視覺效果為目的的圖像增強技術，能夠使圖像轉化成一種更適合人工觀察或機器分析的形式[2]。圖像增強技術有兩類方法：空間域法和頻率域法。空間域法是在空間域中對數字圖像的像素灰度值直接進行運算處理；而頻率域法是在數字圖像先進行某種變換域，再對變換值進行運算。本文中采用頻率域法，先對圖像進行DFT，再對圖像頻譜進行濾波，然后將濾波后的變換值反變換到空間域，最終得到被增強的圖像。

巴特沃思低通濾波器的低通效果比較理想[3]。下面是采用巴特沃思低通濾波器進行圖像增強的實例，依次使用Matlab的imread、rgb2gray、double、fft2、ifft2等進行圖像數據讀取并將其轉換成灰度圖像、數據類型轉換、FFT正變換、濾波和反變換得到圖1所示的結果。若原圖像的灰度為突變狀態，則經過FFT正變換后在頻域中得到高頻分量；若灰度的變化比較平緩，經過FFT正變換后在頻域中得到低頻分量[4]。原圖像中的老人臉上布滿皺紋，增強后的圖像中皺紋不再明顯。從一幅尖銳的原始圖像產生平滑、柔和的外觀，這就是圖像平滑的過程，但此時圖像的邊緣清晰度可能會降低，圖像變模糊的實質是高頻分量被衰減。

圖1 采用低通濾波的變換效果

上面的實例通過衰減DFT的高頻成分使圖像變模糊。對低通濾波進行“反操作”（即高通濾波）的過程，能夠使圖像銳化化，突出圖像的邊緣信息，是原其圖像輪廓特征得到，這種處理與圖像平滑正好相反。由于高通濾波可以增強圖像的邊緣和輪廓，可視為一種特殊的圖像增強操作[5]。下面為采用巴特沃思高通濾波器進行圖像增強的實例，處理效果如圖2所示。圖像中的汽車、樹木和房屋經過處理濾去了低頻分量后只顯示原圖像的邊緣信息，突出了整體輪廓。

圖2 采用高通濾波的變換效果

從上述圖示效果來看，DFT的物理意義是將圖像的灰度分布函數變換為頻率分布函數，而反變換是將圖像的頻率分布函數變換為灰度分布函數，低通濾波和高通濾波在正變換和反變換之間作用于圖像灰度值，實質上是作用于圖像的頻率。

3 結論

通過分析上述兩次圖像處理的效果，可以看出數字圖像的灰度反映了圖像頻率，灰度突變對應于高頻分量，而灰度變化緩慢對應于低頻分量。低通濾波能夠削弱圖像的高頻分量，平滑了圖像信號，同時有可能使區域邊界變模糊；而高通濾波通過增強高頻成分來減少模糊，會使模糊的邊緣部分得到增強。這就是用DFT進行圖像平滑和邊緣提取的依據。

[1]趙小川，何灝，繆遠誠.MATLAB數字圖像處理實踐[M].北京：機械工業出版社，2013：42-75.

[2]徐獻靈，林弈水.Matlab在圖像處理中的應用[J].現代計算機，2008，283：66-69.

[3]郝強，趙何明，張毅.基于MATLAB的數字圖像處理技術與應用[J].河北農機，2014，（11）：44-46.

[4]王斌.MATLAB實現數字圖像增強處理[J].佳木斯大學學報（自然科學版），2005，23（1）：31-34.

[5]于殿泓.圖像檢測與處理技術[M].西安:西安電子科技大學出版社，2006：110-123.