關于由均勻分布如何得到正態分布的研究實踐

劉雨晴

【摘要】計算相互獨立分布相同的分布相加后均值與方差的關系，借助查詢得到的大數定理方法給出如何由均勻分布得出正態分布，最后借助Excel軟件模擬驗證結論.

【關鍵詞】均勻分布；正態分布；大數定理；Excel模擬

最近學習了數學中的統計學的內容，一個美麗的分布吸引了我的注意力：正態分布.這個分布是對稱的，在坐標系中畫出了一道美麗的弧線，從左邊的地平線，慢慢地爬到最高點，又緩緩地不甘地離我們而去，就像夕陽一樣，掛念著他的大地，一直到右邊的無限遠處，直到看不到他的影子.

這個分布的函數看起來很復雜， f（x）=12πσexp-（x-μ）22σ2，但是看到這個函數的第一眼，就驚嘆于這個函數的發現者的巧妙，這個函數可以精確的使全坐標下的積分為1，不多一絲不少一分，很是完美.就是這樣一個美麗的分布，吸引了我很大的注意力.這個分布的存在對于數學究竟意味著什么，為什么這個分布這么重要，甚至被稱為“常態分布”.

上課教師講到，在現實生活中，遇到測量之類的時候，尤其產生大量的連續的數據，很多時候都是希望得到這種形態的分布.換句話說，正態分布是一種很標準的很基本的分布.

既然如此，一個其他的分布在數據很大時也有可能產生正態分布了嗎？我帶著這個疑問展開了自己的研究，進行了一些推導.

假設X，Y服從于0到1之間的均勻分布，且相互獨立.它們的分布所對應的函數均為f（x）=1，0

f（x）=∫20pX（x0）pY（x-x0）dx0.

在00.當0

f（x）=∫101dx=x，0

發現，均值和方差均為單個分布的兩倍.所以，我打算去嘗試推導一下獨立分布情況下的多個分布相加得到的均值與方差的關系.

均值（∑ni=1Xi）=∑ni=1均值（Xi）.

方差（X+Y）=方差（X）+方差（Y）+2×協方差（X，Y）=方差（X）+方差（Y）.當X與Y相互獨立分布時，協方差為0.推廣到n個獨立分布相加時：

方差（∑ni=1Xi）=∑ni=1方差（Xi）+2×∑ni，j=1，i≠j協方差（Xi，Xj）=∑ni=1方差（Xi）.

根據均值和方差的性質：

均值（n×X）=n×均值（X）；方差（n×X）=n2×方差（X），若Xi是服從于0到1均勻分布的獨立同分布，得

均值1n∑ni=1Xi=0.5，

方差1n∑ni=1Xi=1n2×方差（∑ni=1Xi）

=1n2×n×方差（X1）=112n.

雖然得到了多個均勻分布均值的均值和方差，但是不清楚他們所服從的分布是什么.這時候，我在網上查到了一個定理——大數定理：當n→∞時，方差→0，就可以使用大數定理，使得在n很大的時候，某測試結果可以依概率收斂.換句話說，當n很大時，0到1分布的多次試驗均值收斂到0.5，這個實驗均值服從于方差為112n，均值為0.5的正態分布，∑ni=1Xin～N0.5，112n，即12n∑ni=1Xi-n2～N（0，1）.這時，就可以用均勻分布來產生正態分布了.

在這里，我們借助Excel，產生一萬次數據，每次產生一萬個0到1之間均勻分布的數字，于是產生了一萬個12n∑ni=1Xi-n2結果.然后我將這個結果從小到大排列，計算每一個小間隔的個數，之后除以每個間隔的平均個數得到分布函數，得到下圖.

將這個圖與真實的正態分布相比：

可以看出，模擬的效果很好，也證明了過程推理的正確性，完成由一個均勻分布得到一個正態分布的過程.這次實踐加深了我對概率統計的理解，并且更進一步了解了正態分布對于整個概率分布、數學界的作用，這個分布是所有不確定事件的一個基礎，只有掌握了這些知識，才能更好地進行下一步學習.

這也讓我知道了實踐的重要性，只有親手去做一下，才能真正發現這其中的奧秘.

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