用作圖的方法解決一類幾何最值問題

肖俊云+段其中

在初中數學知識體系中，作圖是一個重要內容；在學生必備的各項能力里，作圖能力占一席之地.初中生要求掌握五種基本作圖，用集合的觀點描述角平分線、線段的垂直平分線、圓，用交軌法作圖.

近幾年來加大了對作圖能力的考查力度，除了考尺規作圖大題，還考與作圖聯系緊密的小題.有一類幾何最值考題，因為學生不會畫出符合題意的圖形，導致思路產生很困難.現從近幾年中考試題中選摘幾道與最值相關題目，談談解法體會.

1.（2017·安徽）如圖1所示，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3.動點P滿足S△PAB=13S矩形ABCD，則點P到A，B兩點距離之和PA+PB的最小值為（ ）.

分析 由S△PAB=13S矩形ABCD可得點P到AB距離為2，故點P在到AB距離為2的直線上.再由直線上一點到直線同側兩點距離之和最小的基本圖形做出點P，可以計算出最小值.

解 設點P到AB距離為h，作EF∥AB，EF到AB距離為2.

∵S△PAB=13S矩形ABCD12·AB·h=13·AB·AD，

∴12·h=13·3，∴h=2，

∴點P在到AB距離為2的直線EF上.

作點A關于EF的對稱點A′，連接A′B，交EF于P，此時PA+PB最小.（如圖1所示）

∵A，A′關于EF對稱，∴PA=PA′，

PA+PB=PA′+PB=A′B，AA′=2×2=4.

在Rt△A′AB中，A′B=AA′2+AB2=42+52=41，

∴PA+PB的最小值為41.故選D.

2.（2017·懷化）如圖2所示，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10 cm，點P是這個菱形內部或邊上的一點，若以P，B，C為頂點的三角形是等腰三角形，則P，A（P，A兩點不重合）兩點間的最短距離為cm.

分析 若B為頂角頂點，則P在以B為圓心、BC為半徑、120°的弧上（不包括C點），但P，A兩點不重合，故不存在PA的最短距離；若C為頂角頂點，則P在以C為圓心、CB為半徑、60°的弧上，連接AC交弧于P，可確定AP位置；若P為頂角頂點，則P在線段BC的垂直平分線上，恰與點D重合.

解 若B為頂角頂點，因P，A兩點不重合，不存在P，A的最短距離.若C為頂角頂點，則P在以C為圓心、CB為半徑、60°的弧上，連接AC交弧于P，過A作AF⊥BC于F.

在Rt△AFB中，sin60°=AFAB，∴AF=10×32=53，

在Rt△AFC中，∠ACF=12×60°=30°，

∴AC=2AF=103，

∴AP=AC-PC=103-10.

若P為頂角頂點，則P在線段BC的垂直平分線ED上（垂直平分線經過D點），此時AD⊥DE，

∵垂線段最短，P，D兩點重合，

∴AP=AD=10.（如圖2所示）

∵103-10<10，

∴P，A兩點間的最短距離為（103-10） cm.

小結：這類幾何最值問題常與運動變化、圖形變換聯系緊密，對作圖能力要求較高，需要用相似、三角函數、勾股定理等知識運算，是綜合性較強的好題.

體會與啟示：數學課程標準對學生提出的培養目標：基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，這類中考試題是對“四基”的一種實戰檢驗，考查學生分析思考能力和創新意識.要求學生理解題意—實驗操作—探索規律—準確作圖—建立模型—計算求解，能否做出符合題意的數學圖形是其中關鍵.將某些數學問題歸結為作圖問題，通過“先定位后定量”來處理，可以獲得解題捷徑.不僅可用作圖的方法解決這一類幾何最值問題，而且可以解決一些中考壓軸題.endprint