直線參數方程在圓錐曲線中的應用

蔡云+丁忠華

直線與圓錐曲線的關系是高考解析幾何考查的重要內容，突出表現為直線和圓錐曲線的交點、弦長、軌跡、定值、最值及取值范圍等問題，直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以壓軸題出現，因此直線與圓錐曲線的問題往往綜合性強、計算能力要求高、難度大，是學生們學習上的難點之一，但同時也是高考的重點之一.如何突破難點呢？巧用直線參數方程中參數的幾何意義，會有意想不到的收獲.舉例如下：

（2016年四川卷，20）

（本小題滿分13分）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的3個頂點，直線l：y=-x+3與橢圓E有且只有一個公共點T.

（Ⅰ）求橢圓E的方程及點T的坐標；

（Ⅱ）設O是坐標原點，直線l'平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點A，B，且與直線l交于點P.證明：存在常數λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值.

解析 （Ⅰ）設短軸一端點為C（0，b），左、右焦點分別為F1（-c，0），F2（c，0）（c>0），則c2+b2=a2.

由題意，△F1F2C為直角三角形.

∴|F1F2|2=|F1C|2+|F2C|2，解得b=c=22a，

∴E：x22b2+y2b2=1.

代入l：y=-x+3，可得3x2-12x+18-2b2=0.

l與橢圓E只有一個交點，

則Δ=122-4·3（18-2b2）=0，解得b2=3.

∴E：x26+y23=1.

由b2=3，解得x=2，則y=-x+3=1，

所以T的坐標為（2，1）.

（Ⅱ）由已知條件可設直線l'的方程為y=12x+m（m≠0），

由方程組y=12x+m，y=-x+3， 可得x=2-2m3，y=1+2m3.

所以P點坐標為2-2m3，1+2m3，|PT|2=89m2.

設點A，B的坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2）.

由方程組x26+y23=1，y=12x+m，

可得3x2+4mx+（4m2-12）=0.（）

方程（）的判別式為Δ=16（9-2m2），

由Δ>0，解得-322

由（）得x1+x2=-4m3，x1x2=4m2-123.

所以|PA|=2-2m3-x12+1+2m3-y12

=522-2m3-x1，

同理，|PB|=522-2m3-x2.

所以，|PA|·|PB|=542-2m3-x12-2m3-x2

=542-2m32-2-2m3（x1+x2）+x1x2

=542-2m32-2-2m3-4m3+4m2-123

=109m2.

故存在常數λ=45，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.

方法2 使用直線的參數方程的幾何意義.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知kOT=12，設直線l′的方程為y=12x+b，

由方程組y=12x+b，y=-x+3， 解得P2-23b，23b+1.

設直線l′的參數方程為x=2-2b3+255t，y=2b3+1+55，（t為參數）

將直線l′的參數方程代入橢圓方程x26+y23=1中，

整理可得65t2+1255t+129b2=0.

設兩根為tA，tB，則有tA·tB=109b2.

而|PT|2=2-23b-22+23b+1-12.

|PA|·|PB|=|tA|·|tB|=|tA·tB|=109b2.

∵|PT|2=λ|PA|·|PB|.

∴λ=|PT|2|PA|·|PB|=89b2109b2=45.故存在這樣的λ.

通過上述實例可以看出，合理利用直線參數方程中參數的幾何意義，對于解決直線與圓錐曲線的問題可以起到簡化計算的作用，從而降低該類題目的難度.

【參考文獻】

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