淺談數形結合思想在中學數學解題中應用

張長耀 王坤 鄭燦偉 劉秀麗

【摘要】數形結合思想是中學數學中重要的數學思想，在解題過程中，運用數形結合思想，往往可以將抽象的問題具體化，復雜的問題簡單化.在歷年高考中對數形結合思想都有不同形式考查，本文結合近幾年高考中涉及的題目，舉例探討了數形結合思想在中學數學解題中應用.

【關鍵詞】數形結合；中學數學；解題

【基金項目】2015年度自治區教學研究改革項目《基于培養數學應用能力的大學數學模式探索》（藏教高[2015]17號）研究成果.

數學上把“數”與“形”結合起來理解，認識問題的方法，就稱為數形結合思想[1].數形結合思想是非常重要的數學思想，它貫穿著整個高中數學內容的始終，是新課標要求注重的數學思想之一.數形結合是數學解題中常用的思想方法，在解決問題的過程中，有時需要借助圖形來直觀生動的解釋數量之間的聯系，即“以形助數”；有時需要通過建立適當的坐標系把幾何圖形問題代數化，借助數量的精確性和嚴密性來具體地說明事物的特征，即“以數解形”.數形結合往往可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而使很多數學問題迎刃而解，而且解法簡捷.正如我國著名數學家華羅庚所說：“數無形時不直觀，形無數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休”[2]，在數學解題中應充分利用這種結合，尋找解題思路.歷年的高考題中，都會有些題目通過不同的形式對數形結合思想進行考查，在本文中，筆者根據多年的教學經驗，結合近幾年高考中涉及的題目類型，通過一些例子來探討數形結合思想在中學數學解題中的應用.

一、運用數形結合思想解決絕對值問題

例1 （2015年山東卷）解不等式|x-1|-|x-5|<2.

分析 如圖1所示，題中抽象的數字1，5用數軸上的點A，B來表示，|x-1|，|x-5|分別表示點x到點A，B的距離.設有一點C，使得|AC|-|CB|=2，由圖可知，C表示數4，而|x-1|-|x-5|<2表示x在C的左側，所以原不等式的解集為（-∞，4）.

此題利用絕對值在數軸上的幾何意義，運用數形結合思想，避免了分段討論的復雜過程，達到了以簡馭繁的目的.

二、運用數形結合思想解決線性規劃問題

例2 （2014年山東卷）已知x，y滿足約束條件x-y-1≤0，2x-y-3≥0， 求當目標函數z=ax+by（a>0，b>0）在該約束條件下取到最小值25時，a2+b2的最小值.

分析 以變量x為橫坐標軸，y為縱坐標軸畫出直角坐標系.圖示約束條件，找出可行域，見圖2陰影部分.圖示目標函數，由于z是一個要優化的目標函數值，隨z的變化，z=ax+by是斜率為-ba的一組平行的直線，當代表目標函數的那條直線經過點E時，目標函數取到最小值25.點E的坐標可由求解直線方程x-y-1=0和2x-y-3=0得到，為E（2，1），即2a+b=25.該問題轉化為當a>0，b>0且2a+b=25時，求a2+b2的最小值.如圖3，2a+b=25的圖像表示線段AB，而a2+b2就是線段上點（a，b）到原點的距離（a-0）2+（b-0）2的平方，已知線段AB上點到原點距離最小為|-25|22+12=2，故在該約束條件下取到最小值25時，a2+b2的最小值為4.

對于線性規劃問題，可以通過在平面上作圖的方法求解.具體的步驟可概括為：在平面上建立直角坐標系；圖示約束條件，找出可行域或判別是否存在可行域；圖示目標函數，尋找最優解.通過作圖求解線性規劃問題，解法簡單直觀.

三、運用數形結合思想解決復數方面的問題

例3 （2015年全國卷）設復數z滿足1+z1-z=i，則|z|=（ ）.

分析 如圖4所示，設BC=z，則BD=-z，故有B，C，D三點共線，從而有AC=1+z，AD=1-z.由已知，復數z滿足1+z1-z=i，根據復數除法的幾何意義，兩個復數相除的結果是一個復數，這個復數的模是相除的兩復數模的商，幅角是相除兩復數幅角的差.從而有|1+z|=|1-z|，且∠COD=π2，又B是CD的中點，所以|z|=|AB|=|BC|=|BD|=1.

復數與形具有緊密的聯系，通過建立直角坐標系，可以將復數和直角坐標系中的點以及平面向量建立一一對應關系，根據復數運算的幾何意義采用數形結合的方法將問題化為幾何問題，可達到事半功倍，化難為易，化繁為簡的目的.

四、應用數形結合思想解決有關函數問題

例4 （2015年全國卷）設函數f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整數x0，使得f（x0）<0，求a的取值范圍.

分析 首先，判斷函數f（x）的單調區間，f′（x）=ex（2x+1）-a，令f′（x）=0，得ex（2x+1）-a=0，即f（x）的駐點滿足方程2x+1=ae-x，令g（x）=2x+1，h（x）=ae-x，方程2x+1=ae-x的解即是g（x）和h（x）表示的圖像的交點.如圖5所示，g（x）=h（x）有唯一解x*，當xx*時，g（x）>h（x），即f′（x）>0.所以當xx*時，f（x）單調遞增.其次，觀察到f（0）=-1+a<0，故要使f（x）存在唯一的整數x0，使得f（x0）<0，必有f（-1）=-3e-1+2a≥0，f（1）=e≥0，從而解得32e≤a<1.

本題目中運用數形結合思想，將求函數駐點的過程轉化為圖形上兩條曲線的交點問題，進而判斷出函數的單調區間，用圖形來說明簡單明了，從而將復雜的問題簡單化.

五、運用數形結合思想解決立體幾何問題

例5 如圖6所示，在多面體ABCDEF中，ABCD為菱形，∠ABC=60°，EC⊥面ABCD，FA⊥面ABCD，G為BF的中點.若EG∥面ABCD，AF=AB，求二面角B-EF-D的余弦值.

分析 建立如圖7所示的坐標系，設AB=2，則B（3，0，0），E（0，1，1），F（0，-1，2），D（-3，0，0），EF=（0，-2，1），EB=（3，-1，-1），DE=（3，1，1）.設平面BEF的法向量n1=（x，y，z），則-2y+z=0，3x-y-z=0， 令y=1，則z=2，x=3，所以n1=（3，1，2）.

同理可求得平面DEF的法向量n2=（-3，1，2）.

設所求二面角的平面角為θ，則cosθ=-14.

通過建立平面直角坐標系，將立體幾何中的點、線、面等對象用數量關系表示出來，將幾何問題轉化為代數運演，進而獲得幾何結論，可以大大降低幾何推理的難度.

通過以上幾個方面，我們更加深刻認識到數形結合是一種重要的數學思想，是數學解題中的一種重要方法，在解題過程中，運用數形結合的思想方法分析問題和解決問題，能給我們解題帶來一種全新的思路，能避免復雜的計算和推理，簡化解題過程，提高解題效率.

【參考文獻】

[1]張志鋒.淺談數形結合思想[J].宿州教育學院學報，2011（5）：145-147.

[2]黃迎艷.淺析“數形結合”思想在數學教學中的應用[J].讀與寫（教育教學刊），2014（3）：251-252.

[3]王淑萍.利用數形結合思想，提高學生的聯想能力[J].江蘇教育學院學報（自然科學版），2012（2）：61-62.

[4]林福珠.數形結合，例題解析[J].學周刊，2012（1）：145.