淺談平面向量常見問題的幾種解析方法

金戈

在數學學習過程中，學生對知識點的掌握并不難，難在如何用所學知識解決問題.這往往是由于沒有理解知識背后所蘊含的思維方法.下面以平面向量的運算為例剖析解題中應遵循的解決方法.

一、向量的合并

例1 已知A，B，C是平面上不共線的三點，O是△ABC的重心，動點P滿足OP=1312OA+12OB+2OC，則點P一定為三角形ABC的（ ）.

A.AB邊中線的中點

B.AB邊中線的三等分點（非重心）

C.重心

D.AB邊的中點

解析 設AB的中點為M，則12OA+12OB=OM，∴OP=13（OM+2OC）=13OM+23OC，即3OP=OM+2OC，也就是MP=2PC，∴P，M，C三點共線，且P是CM上靠近C點的一個三等分點.答案選B.

點評 這題是向量線性運算，解題時優先考慮合并，那是因為合并直奔主題達到簡潔美.針對此題最簡單合并自然先運算12OA+12OB.運算后，發現沒辦法繼續合并，但都是以O為向量起點，又左邊系數為3，右邊系數和為3，于是考慮能否進行拆分，本題得以順利解決.

二、向量的拆分

例2 若點M是△ABC所在平面內的一點，且滿足5AM=AB+3AC，則△ABM與△ABC的面積比為（ ）.

A.15

B.25

C.35

D.45

解析 設AB的中點為D，由5AM=AB+3AC，得3AM-3AC=2AD-2AM，即3CM=2MD.如圖所示，故C，M，D三點共線，且MD=35CD，也就是△ABM與△ABC對于邊AB的兩高之比為3∶5，則△ABM與△ABC的面積比為35，選C.

點評 本題依舊是向量線性運算，優先考慮合并，顯然不行.于是考慮迂回拆分轉化，而拆分的目的是為了能更好合并，注意到左右兩邊向量均以A為起點，系數相差了1，取AB的中點顯然就能達到系數平衡，轉化為例1.

三、小試牛刀

例3 已知平面上一定點C（2，0）和直線l：x=8，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且PC+12PQ·PC-12PQ=0.

（1）求動點P的軌跡方程；

（2）若EF為圓N：x2+（y-1）2=1的任一條直徑，求PE·PF的最值.

解 （1）設P（x，y），則Q（8，y）.由PC+12PQ·PC-12PQ=0，得|PC|2-14|PQ|2=0，即（x-2）2+y2-14（x-8）2=0，化簡得x216+y212=1.

所以點P在橢圓上，其方程為x216+y212=1.

（2）因PE·PF=（NE-NP）·（NF-NP）=（-NF-NP）·（NF-NP）=（-NP）2-NF2=NP2-1，P是橢圓x216+y212=1上的任一點，設P（x0，y0），

則有x2016+y2012=1，即x20=16-4y203，又N（0，1），

所以NP2=x20+（y0-1）2=-13y20-2y0+17=-13（y0+3）2+20.

因y0∈[-23，23]，所以當y0=-3時，NP2取得最大值20，故PE·PF的最大值為19；

當y0=23時，NP2取得最小值為13-43（此時x0=0），故PE·PF的最小值為12-43.

點評 解決本題有兩個關鍵點分別為：為什么想到拆分？為什么想到拆成以N為起點的向量？不是一開始就考慮到拆分的，其應遵循的思維方式和上面一樣，從而順利解決問題.

四、總 結

縱觀以上解題過程，我們不難發現解題中除了運用知識以外，還需遵循某一思考原則，因此，教學中除了關注知識教學以外，更需通過知識講解，習題訓練，揭示、滲透更深層次的思維方式，只有這樣才能教會學生如何思考，才會使學生既見樹木又見森林，掌握規律、方法.反過來，有了思維方式的指引，學生在解題中才會練得輕松、生動、有趣，有效避免了簡單、機械訓練，擺脫題海戰術.通過講練，實現了以知識為載體，培養了學生能力，提高了學生核心素養，這也是教學最高境界、本源目的——授人以漁而不是授人以魚.endprint