圓錐曲線專題（一）

馬文政

第一類問題 與垂直有關的過定點問題（斜率之積）

1.橢圓的方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），P（x0，y0）為橢圓上的任意一點，且PA⊥PB，A，B兩點均在橢圓上，則直線AB恒過定點c2x0a2+b2，-c2y0a2+b2.

2.已知P（x0，y0）為雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上的任意一點，且PA⊥PB，A，B兩點均在雙曲線上.

（1）當a≠b時，則直線AB恒過定點c2x0a2-b2，-c2y0a2-b2.

（2）當a=b時，kAB=-y0x0.

3.y2=2px（p>0）上的任意不同三點A，B，M（x0，y0），若MA⊥MB，則AB直線恒過定點（2p+x0，-y0）.

推廣到一般情況：

橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的任意三點A，B，M（x0，y0），若kMA·kMB=1t.

（1）當a2-b2t≠0時，則AB直線恒過定點a2+b2ta2-b2tx0，-a2+b2ta2-b2ty0.

（2）當a2-b2t=0時，kAB=-y0x0.

（3）當t=-1時，AB恒過定點c2x0a2+b2，-c2y0a2+b2.

雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上的任意三點A，B，M（x0，y0），若kMA·kMB=1t.

（1）當a2+b2t≠0時，則AB直線恒過定點a2-b2ta2+b2tx0，-a2-b2ta2+b2ty0.

（2）當a2+b2t≠0時，kAB=-y0x0（這里x0，y0討論省去了）.

其中t=-1時，當a≠b時，則直線AB恒過定點c2x0a2-b2，-c2y0a2-b2.

當a=b時，kAB=-y0x0.

拋物線y2=2px（p>0）上的任意三點A，B，M（x0，y0），若kMA·kMB=1t，則AB直線恒過定點（-2pt+x0，-y0）.

當t=-1時，則AB直線恒過定點（2p+x0，-y0）.

第二類問題 斜率之和

橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0），M（x0，y0）在橢圓上且

（1）kMB+kMA=1t，t≠0，則直線AB恒過定點-2ty0+x0，-2tb2a2x0-y0.

（2）當kMB+kMA=0時，kOM·kAB=b2a2.

練習：x22+y2=1上有一點M（0，1）若kMB+kMA=4則AB恒過-12，-1.

雙曲線：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），M（x0，y0）在雙曲線上且

（1）kMB+kMA=1t，t≠0，則直線AB恒過定點-2ty0+x0，2tb2a2x0-y0.

（2）當kMB+kMA=0時，kOM·kAB=-b2a2.

拋物線：y2=2px，P>0，

（1）kMB+kMA=0，則kAB=-Py0.

（2）當kMB+kMA=1t（t≠0）時，AB恒過定點（x0-2y0t，-y0+2Pt）.endprint