初探高中數學解題中的數形結合思想

吳濤

【摘要】數形結合思想是中學數學中最為常見的數學思想之一，在對“數”與“形”的綜合應用與轉化之中解決許多看似困難的問題.因為其應用廣泛并且意義非凡，因而，也成為中學數學學習的一個重點和難點，本文主要通過數形結合在中學數學中的應用實例來明確其應用的方式和相應的解題方法.并提出相應的學習方法，培養學生的數形結合能力和意識.

【關鍵詞】數形結合思想；中學數學；結合應用

中學數學是一門需要技巧與思想的學科，其內容如三角函數、立體幾何、導數、向量均不是容易掌握的內容，而數形結合思想的應用可以便利的解決這些內容中大部分原本晦澀難懂的問題.而如何準確且熟練地在解題過程中應用數形結合思想便利學生的數學學習便是本文的研究重點，具體而言，數形結合思想有何明顯的特征？如何使用數形結合思想解決現實問題？都是本文要回答的問題.

一、數形結合思想簡述

數與形是數學研究的兩個基礎學科.早在數學發展的初期，人們就知道他們可以用簡單的數字表達，以幫助他們理解和記憶.近代以來，“數形結合”四個字正式出現是在華羅庚先生的數學著作《談談與蜂房有關的數學問題》一書中，算是近代數學思維體系中第一次把數形結合確立為思想的范疇加以分析和應用.數形結合思想和應用幾乎貫穿整個中學數學學科教材的始終，從實數、平面幾何、方程、函數到導數、立體幾何、圓錐曲線、實際應用等幾乎全部的數學學習內容都可以發現數形結合思想的蹤跡，這也是為什么要研究數形結合思想的最重要的因素，分布廣泛.

二、數形結合思想的具體應用

（一）利用數形結合求解集合問題

例1 已知集合U={x|x2-3x-28≤0}，K={x|x2-x-6>0}，則U∩K為（ ）.

A.{x|x>3或x<-2}

B.{x|-1≥x≥-4或3≤x<7}

C.{x|-2≥x≥-4或3

D.{x|x<-2或x≥3}

集合作為中學數學的基本問題解決的是一定范圍的、確定的對象之間關系的問題.它是一個數學的基礎理論.但是對問題的描述往往枯燥而缺乏生動形象的形式.因而，數形結合能夠有效地解決這類問題.首先，所有的集合問題都可以根據對相應對象的代數描述獲取其幾何表示的信息，這要求具有一定的數形結合能力和意識，具體到本題而言，根據題干中提供的兩個集合（求解二次方程獲得解集）將解集各自表示在一條一維坐標軸上，如下圖所示.

根據集合中對交集的描述，很容易解決問題.

（二）利用數形結合求解函數問題

例2 一次函數y=kx+b與二次函數y=cx2+bx+k在同一直角坐標系中的圖像大致位置可能是（ ）.

“以形助數”思想在數形結合問題中最為常見，其可以化解傳統代數問題缺乏形象直觀的問題，它可以應用于函數的最基本的功能，以及更復雜的三角函數，多函數，冪函數，指數函數，三角函數等，基本方法就是利用直觀的函數圖像來還原隱藏在題目字里行間的解題信息，圖像的交點，單調性，對稱性的函數，定義域和值域，最值問題可以通過適當的函數圖像解決.例2是一類基本的函數應用問題——畫函數圖像.函數圖像是數形結合的重點，而這類型的應用也是后期很多題型的基本特點和組成要素.所以，在初識函數的時候要善于利用數形結合思想理清不同函數的性質和圖像走勢，這對學習知識、強化能力都大有裨益.

（三）利用數形結合求解特殊問題

數形結合思想還可用來求解一類中學數學中的特殊問題.所謂特殊問題，是指這類問題常常是某個具體知識的變化或者某幾種不同問題的結合.這類問題主要有：復雜函數的對稱性問題、零點問題、多內容綜合問題等.

例3 已知0

D.1，2，3

上述問題就屬于本節所言的特殊問題，初看上去，這是一道求解方程實根的問題，可是該方程并不是一個簡單的基本形式的方程，可以看出，

在其中含有指數，對數，絕對值.而且對數函數的底數是一個有自身定義域的值.這樣一個綜合性的問題，它是中學數學教學當中用來比較學生解決問題的能力和用組合思想解決問題的次數.根據相關函數的圖像，可以畫出該方程的圖像，如右圖.

根據基本方程，我們可以知道，根的數目是兩個圖像的交點的數目，所以我們可以在解決這個問題的幫助下，得知組合的數量和形狀.

三、結 語

“數形不分家”是基本的數學理論，數形結合思想可以將枯燥的“數”和生動的“形”緊密地結合起來.在該選題對數形結合思想的研究之中，筆者對其在化繁為簡、化難為易方面的能力有了直觀的感受，相信這也是奮斗在中學教學一線的教師和學生們共同的感受.而要在日常的教學學習實踐過程中多加總結才能豐富數學見聞、掌握數學知識、領略數學科學精深的魅力.

【參考文獻】

[1]張亮.數形結合法的幾個應用[J].井岡山師范學院學報，2003（5）：88-90.

[2]劉雨智.淺談數形結合在解題中的應用[J].各界（科技與教育），2013（2）：82-93.

[3]何新藝.數形結合在極值與最大值問題中的應用[J].中國校外教育，2013（12）：107.