三角函數誘導公式六推導方法的跟蹤與改進

王遠帆

【摘要】三角函數的誘導公式在高中數學教學中占有非常重要的地位，誘導公式之間既有區別又有聯系，其推導方法也是教學中的一個重頭戲，在誘導公式的推導過程中主要是引導學生從單位圓的對稱性和任意角終邊的對稱性中發現問題，提出研究方法.推導過程中涉及數形關系的轉換和符號的判定，體現了數學的數形結合、歸納轉化及化歸的思想方法，對培養學生的創新意識、發展學生的思維能力、掌握數學的思維方法具有重大的意義，并且很好地體現了新課標的理念.

【關鍵詞】誘導公式；5H2W分析；對稱思想；核心素養

一、問題分析

教材利用單位圓中角α的終邊與-α，π±α，π2±α的對稱關系，得到角α的終邊與單位圓交點坐標對應關系，從而得到誘導公式一到五，但是教材在對于公式六的推導是“由于π2+α=π-π2-α得到”，在課堂講授時，學生對于此種推導方法仍然存在疑惑，因為此方法基于公式四和五，當學生對于公式一到五還不太熟悉的情況下，用此種方法進行推導，無疑對學生的認知設置了障礙，不利于學生對公式的理解與記憶.

二、解決思路

（一）理解教學，促進思考

數學教學要為學生的長期利益服務，數學教師應引導學生不斷感悟數學本質，學會數學地思考.因此，本節課在教學的處理上應該提高立意，強調“研究三角函數的性質”，體現“變換的觀點”，不必過分突出與銳角三角函數的聯系.也就是說，要注意引導學生結合三角函數的定義，做好“從角的終邊（自變量）的對稱性到函數值的關系”的過渡，要圍繞“函數性質”“圓的對稱性的解析表示”去設計啟發性的問題串.

（二）理解學生，有效突破難點

學生的已有經驗主要包括：函數學習的過程與方法、任意角的三角函數概念、圓的對稱性及其坐標表示等.

學生學習新知識的難點主要有：

（1）公式有多個，增加了學生認知的負擔，容易遺忘和記憶不準確；

（2）學生難以獨立從函數性質的角度提出誘導公式的問題、研究思路與方法；

（3）在以往的學習中，對直角坐標系中關于直線y=x對稱的兩點間的關系沒有進行過透徹研究.

突破難點的策略：

（1）引導學生根據任意角三角函數概念與“圓的對稱性”的聯系探究三角函數的性質，形成“一線串通”的思考鏈；

（2）在誘導公式的發現教學中，根據對稱性關系的難易，采取不同的教學方式，通過教師的指導加以調控；引導學生經歷“從角的終邊（自變量）的對稱性到函數值的關系”的探究過程，并通過觀察思考角的終邊與單位圓交點坐標發現變化規律，概括公式.

（三）滲透對稱思想

三角函數誘導公式具有周期性以及對稱性，根據三角函數的定義可知任意角的三角函數值是由角的終邊位置決定的，以360°為周期，任意角的三角函數值都能化為0～360°的內角的三角函數值.根據數學中對角的定義，任意角α的終邊和-α的終邊關于x軸對稱，π+α角的終邊與α角的終邊是反向延長的關系，π-α角的終邊與-α角的終邊也是反向延長的關系.根據任意角的對稱性以及周期性來對誘導公式進行理解就比較簡單，可以把任意角的三角函數轉化為0到180°的三角函數.

單位圓中，

sinα=y，cosα=x，tanα=yx

由角α的終邊與-α，π±α的對稱關系得到公式一到四

α180°+α

終邊關系角180°+α的終邊就是角α終邊的反向延長線

點的關系P（x，y）P′（-x，-y）

函數關系sinα=ycosα=xsin（180°+α）=ycos（180°+α）=-x

απ-α

終邊關系關于y軸對稱

點的關系P（x，y）P′（-x，y）

函數關系sinα=ycosα=xsin（π-α）=ycos（π-α）=-x

α-α

終邊關系關于x軸對稱

點的關系P（x，y）P′（x，-y）

函數關系sinα=ycosα=xsin（-α）=-ycos（-α）=x

（四）化歸遷移

公式一到四的推導，讓學生經歷了“突出知識形成過程，滲透化歸思想”的轉變.公式一到四的結論都是三角函數名不變；而公式五就開始出現函數名發生改變的公式，而此時，雖然公式表征發生變化，但是其核心的數學思維仍然是對稱思想，這可以作為學生對于公式一到四研究方法的一個檢測.

從圖中發現角α的終邊

與π2±α的位置關系

由兩角的特殊關系，構造出兩個全等三角形，從對應邊關系過渡到坐標的對應關系

利用坐標的對應關系得出公式五、六

三、實施與改進

采用“5H2W分析”法，對比兩次實施（見下表）：

第一次實施第二次實施為什么改變

What（對象）由π2+α=π-π2-α直接得出結論

利用單位圓分析變化前后坐標的關系

從學生已有知識入手，有利于學生從圖形的對稱性中發現規律

Who

教師講授，學生被動接受

學生為探討主體

激發學生求知欲

When

誘導公式六的引入

理解誘導公式五的推導方法后

順序沒有發生變化，變化的是學生接受新公式的思維鋪墊

Where

課堂上，教師講授

課堂上，學生討論分析后總結

由教師主導轉向學生主導

Why

學生被動接受新知

學生主動分析，得出結論endprint

可檢測學生對于之前的推導理解與掌握程度

How

由公式四、五推導而得

利用全等三角形對應線段相等，得出坐標的對應關系

揭示三角函數誘導公式的對稱本質

層次分析

完全采用教材的方法，缺少加工，屬于層次二

從學生角度出發，“一線串通”，理解函數的對稱性

為學生往后的學習打下基礎

四、收獲與反思

《數學課程標準》要求把三角函數作為一種描述周期現象的數學模型來研究.在建立了三角函數的概念后，下面要研究的問題理所當然就應該是“三角函數是如何刻畫周期性現象的？”“刻畫周期性現象的這一數學模型有著怎樣的性質？”這是數學研究的基本過程.其實，無論是誘導公式，還是后面一章的“三角變換”，其本質都是研究三角函數所具有的性質.

對數學元認知起點的選擇要基于知識體系最本源的地方，以體現公式本質的問題串組織教學，努力揭示公式的形成過程.根據以往的教學經驗，學生一談到“誘導公式”，就有一種懼怕的心理，害怕公式記得不準確.學生為什么害怕公式記得不準確呢？因為學生腦海中僅僅是幾個抽象的數學符號，缺乏對這些數學符號的具體經驗感受.因此，有必要讓學生經歷從具體到抽象這一過程，感受到公式的本質.正如蘇霍姆林斯基所說的那樣：知識只有從人的內在精神力量與人所認識的世界的融合中產生出來時，知識才能成為一種福利.因而，領著學生到思維的源地去旅行是具有重大意義的.這些地方，形象地說，就有滋養渴望知識的細根，這些地方就會使學生萌發出一種愿望，從數學理論內部設置問題，培養學生的理性精神.數學發展的歷史告訴我們，數學理論的建立往往有兩條路徑：第一，源于解決實際問題的需要；第二，源于數學理論內部.而源于數學理論內部的數學理論在建立時人們并不知道其有何作用，有些甚至到目前為止還不知道它們有何作用，這一點正是數學理性精神的體現.

本節課是在學習完三角函數概念之后的新授課，所提出的問題都是從數學概念內部提出的問題，其目的就是讓學生感受到數學理論的建立不僅僅來源于解決實際問題的需要，從數學內部提出問題也是建立數學理論的一種手段，以達到培養學生理性精神的教學目的.

總之，數學教學的本質是學生在教師引導下能動地建構數學認知結構，并使自己得到全面發展的過程.在這一過程中，學生是主體，教師是主導，知識是載體，發展是目的.endprint