凸顯信息化教學優勢，激活數學微實驗探究

渠懷蓮

一、凸顯信息化教學優勢

依據導數的幾何意義，運用幾何畫板作出導函數圖像，學生很容易體會到求導公式的生成過程.本章側重于對導數本質的認識，通過大量的實例由淺入深，由表及里，層層展示出其數學思想與方法，“局部以直代曲”的辯證思想逐步引申，建立起導數的數學模型，進而形成數學理論.

經過前面近5課時的學習，學生已經掌握了平均變化率、瞬時變化率，以及導數的定義和幾何意義等相關知識，初步領悟了由特殊到一般、由具體到抽象等研究數學問題的基本思想方法.

二、激活數學微實驗探究

教學目標：1.能根據導數的定義求幾個簡單函數的導數，加深對導數概念的理解；

2.掌握利用導數公式表求簡單函數導數的方法；

3.體會建立數學理論的過程，感受學習數學和研究數學的一般方法，進一步發展思維能力.

重點：利用導數的定義及導數公式表求簡單函數的導數.

難點：通過概括、推廣并猜想出冪函數的求導公式.

教法、學法：啟發式教學；自主探究法、合作學習法等.

教學工具：普羅米修斯交互式電子白板、幾何畫板、多媒體投影機等.

教學過程：

（一）問題情境

在上一節中，我們用割線逼近切線的方法引入了導數的概念，那么如何求函數的導數呢？（求函數導數的一般步驟.gsp）

設計意圖：通過復習回顧函數在一點處的導數定義，過渡到導函數的概念，并歸納出求導數的一般步驟.此處用幾何畫板演示“割線逼近切線”的過程及切點運動帶動切線變化的過程，得出各點的導數是自變量x的函數即導函數.

（二）探究活動

用導數的定義求下列各函數的導數：

（1）f（x）=kx+b；（2）f（x）=C；（3）f（x）=x；（4）f（x）=x2；（5）f（x）=x3.（多媒體展臺學生解答）

思考 由上面（3）、（4）及（5）的結果，你能發現什么一般規律嗎？

答案 （xn）′=nxn-1（n∈N*）.

證明 方法一：數學歸納法（略）.

方法二：利用二項式定理（略）.

方法三：令a=x+Δx，b=x，

（4）ΔyΔx=a2-b2a-b=（a-b）（a+b）a-b=a+b.

（5）ΔyΔx=a3-b3a-b=（a-b）（a2+ab+b2）a-b=a2+ab+b2.

方法四：利用等比數列的前n項和公式證明：

an+an-1b+an-2b2+…+abn-1+bn=an+1-bn+1a-b，

其中n∈N*，a，b是不為0的常數，且a≠b.

證明 當n=1時，由（3）知成立；

當n≥2時，令a=x+Δx，b=x，由預備公式知：

（x+Δx）n-xn（x+Δx）-x=（x+Δx）n-1+（x+Δx）n-2x+（x+Δx）n-3x2+…+xn-1，

并注意到，當Δx→0時，（x+Δx）n-1-kxk→xn-1，其中k=0，1，…，（n-1），共n項，

所以，當Δx→0時，（x+Δx）n-xnΔx→nxn-1，

即（xn）′=nxn-1（n∈N*）.

這里的n對正整數及零都成立，那么是否對負整數適用，甚至分數呢？我們現在驗證一下：

（6）f（x）=1x；

（7）f（x）=x.（多媒體展臺學生解答）

事實上，在我們的猜想中，公式（xn）′=nxn-1（n∈N*）指數為無理數時也成立，比如，n=2.因我們所學知識有限，現在還不能給出詳盡的證明.

結論：（xα）′=αxα-1（α為常數）.

設計意圖 充分調動學生探究求導公式的生成過程及理論支撐，引導學生用定義推導幾個初等函數的導數公式，注重規范化書寫的常規訓練；同時，使學生進一步體會導數的思想和內涵以及歸納推理在數學發現中的作用.

（三）回顧小結

在線查詢導數：http：//baike.baidu.com/view/30958.htm

1.求函數導數的方法.

2.掌握幾個常見函數導數的定義求法和基本初等函數的導數公式.

3.研究數學問題的基本方法：由特殊到一般、由具體到抽象.

（四）作業要求

1.完成教材P20第5、6、7題；

2.課外探究：自選基本初等函數求導表中一個公式證明.

教學反思：

1.凸顯信息化教學的優勢

教學中充分運用交互式電子白板、幾何畫板、網絡資源等將抽象的數學理論知識具體化、形象化，吸引學生注意力及提升學生的探究興趣.在平時教學中，要多利用信息技術的功能優勢調控教學活動，將其恰當地作為資源環境、交流環境、知識表達與加工工具，引導學生有效地投入到學習與探究之中，促進學生學習能力發展.

2.體現新課標調控的理念

在冪函數求導公式的探究過程中，依指數的取值情境——正整數、零、負整數、分數及無理數進行有效探究，并給出了指數是正整數時的證明，利用了等比數列相關知識，體現出知識點的融合及網絡框架建構的歷程.讓學生體會建立數學理論的過程，感受學習數學和研究數學的一般方法，進一步發展思維能力.

3.打破中庸化思維的束縛

教學中要依據學生的最近發展區知識儲備進行高效教學，對于本節知識點來說，如果僅講授幾個公式的運用，而沒有相應的生成過程及理論支撐，學生的思維層次是無法提升到一定高度的.在平時教學中，我們就要敢于打破中庸化思維的束縛——不求出彩但求無錯，真正為學生的思維發展奠基，關注學生的終身發展，而不是一味地盯住分數，陷于題海，做無盡頭的機械訓練.

【參考文獻】

[1]范暉.“導數在研究函數單調性中的應用”的教學設計與反思[J].中學數學月刊，2013（2）：25-26.

[2]陳孟算，陳敬星.“導數問題中的難點及解決方法舉例”教學設計[J].數學學習與研究，2012（17）：20-21.endprint