同體積長方體棱長及表面積變化規律

劉代云

在小學數學中，時常會遇到判斷同體積長方體表面積大小的問題.例如，用12個長5厘米、寬4厘米、高3厘米的長方體拼成一個表面積最小的長方體，拼得的這個長方體表面積是多少？解答這一問題的關鍵在于搞清楚當長方體體積一定時，其表面積隨棱長變化的規律.否則，就很容易誤認為只要遮住最大的面，表面積就最小，于是得出：新長方體長5厘米、寬4厘米、高3厘米×12=36厘米；表面積（5×4+4×36+36×5）×2=688（平方厘米）.

粗略一看，這好像沒什么問題，但事實并非如此！要使拼得的長方體表面積最小，只考慮被遮住的面大還不行，必須同時考慮被遮住的面要盡量多.這樣，問題就變得復雜起來，而且用于拼組的長方體個數越多情況就越復雜.倘若學生沒有這方面的知識和經驗，解決此類問題是非常難的.那么，我們應該如何去引導學生，使其知道所拼長方體表面積隨棱長變化的規律，從而讓該問題化難為易呢？現就此問題探討如下.

假設某長方體體積為a3，則其長、寬、高與棱長總和及表面積將分別有以下幾種不同情況.

因為體積a3是一定的，4a及2a2為定值，所以影響長方體棱長總和及表面積大小的關鍵在于“n+k+1nk，nk+1n+1k，n+1n+1，2n+1n2，n2+2n”這5個式子的值的大小.不難看出，這5個關鍵式子的值是隨n值與k值的變化而變化的.那么，n與k的值又是怎樣影響其大小的呢？

假設，當n與k各自分別增加p和s（p>0，s>0），則以上5種情形下影響長方體棱長總和及表面積大小的5個關鍵式子的值與原來相比，所起變化分別如下.

（1）在n+k+1nk中，

（n+p）+（k+s）+1（n+p）（k+s）-n+k+1nk

=（n+p）+（k+s）-（n+k）+1（n+p）（k+s）-1nk

=（p+s）-1nk-1（n+p）（k+s）

=（p+s）-（n+p）（k+s）-nknk（n+p）（k+s）

=（p+s）-nk+pk+ns+ps-nknk（n+p）（k+s）

=（p+s）-pk+ns+psnk（n+p）（k+s）

=（p+s）-pknk（n+p）（k+s）+s（n+p）nk（n+p）（k+s）

=（p+s）-pn（n+p）（k+s）+snk（k+s）

>0.

這表明：隨著n值與k值的增加，n+k+1nk的值也在增加.

（2）在nk+1n+1k中，

（n+p）（k+s）+1n+p+1k+s-nk+1n+1k

=（n+p）（k+s）-nk+1n+p+1k+s-1n-1k

=nk+pk+ns+ps-nk-1n-1n+p+1k-1k+s

=pk+ns+ps-n+p-nn（n+p）+k+s-kk（k+s）

=pk+ns+ps-pn（n+p）+sk（k+s）

>0.

這表明：隨著n值與k值的增加，nk+1n+1k的值也在增加.

（3）在n+1n+1中，

（n+p）+1n+p+1-n+1n+1

=（n+p）+1n+p-n+1n

=n+p-n+1n+p-1n

=p-1n-1n+p

=p-n+p-nn（n+p）

=p-pn（n+p）

>0.

這表明：隨著n值的增加，n+1n+1的值還是一樣在增加.

（4）在2n+1n2中，

2（n+p）+1（n+p）2-2n+1n2

=2n+2p-2n+1（n+p）2-1n2

=2p-1n2-1（n+p）2

=2p-（n+p）2-n2n2（n+p）2

=2p-2np+p2n2（n+p）2

=2p-2n+pn2（n+p）2×p

=2p-nn2（n+p）2+n+pn2（n+p）2×p

=2p-1n（n+p）2+1n2（n+p）×p

>0.

這表明：隨著n值的增加，2n+1n2的值照樣在不斷增加.

（5）在n2+2n中，

（n+p）2+2n+p-n2+2n

=（n+p）2-n2+2n+p-2n

=2np+p2-2n-2n+p

=2np+p2-2n+2p-2nn（n+p）

=2np+p2-2pn（n+p）

>0.

這表明：隨著n值的增加，n2+2n的值仍然在不斷增加.

綜上所述，隨著n值與k值的增加，影響長方體棱長總和及表面積大小的那5個關鍵式子的值都會越來越大；反之，便都會越來越小.而n與k的值越小就代表其形狀越接近正方體.這就是說，當長方體體積一定時，其形狀越接近正方體，它的棱長總和與表面積就越小.至此，本文開頭所述題目即可解答如下.

分析 因所拼長方體的體積是原長方體體積的12倍，所以新長方體的長、寬、高分別相當于原長方體的長、寬、高各擴大了12的因數倍.又由于原長方體長、寬、高本身很接近，故，12應該是三個比較接近的因數的積.

解答 ① 求所拼長方體的長、寬、高.

12=2×2×3.

長：5厘米×2=10厘米；

寬：4厘米×2=8厘米；

高：3厘米×3=9厘米.

因為新長方體的長、寬、高要盡量接近，所以12的較小的因數應該與原長方體較長的棱長相乘；較大的因數應該與原長方體較短的棱長相乘.

② 求所拼長方體的表面積.

（10×8+8×9+9×10）×2

=（80+72+90）×2

=242×2

=484（cm2）.

答：所得到的這個長方體的表面積是484 cm2.

這里還有一個關鍵，就是必須明白12不一定就是2，2，3這三個因數的積.譬如，若原題變為“用12個長10厘米、寬6厘米、高1厘米的長方體拼成一個表面積最小的長方體，得到的這個長方體的表面積是多少？”

這樣，原長方體長、寬、高本身不是很接近，為了讓新長方體的長、寬、高盡量接近，12就不應該是2，2，3這三個因數的積了，必須做相應的調整.具體解答如下.

① 求所拼長方體的長、寬、高.

12=1×2×6.

長：10厘米×1=10厘米；

寬：6厘米×2=12厘米；

高：1厘米×6=6厘米.

② 求所拼長方體的表面積.

（10×12+12×6+6×10）×2

=（120+72+60）×2

=252×2

=504（cm2）.

答：所得到的這個長方體的表面積是504 cm2.

注意：長方體體積一定時，其形狀越接近正方體，棱長總和與表面積越小，這并不意味著棱長總和越小，表面積就一定會越小.例如，甲、乙兩長方體長、寬、高分別是12厘米、10厘米、1厘米和20厘米、3厘米、2厘米.其棱長總和是甲小乙大，而表面積則是甲大乙小.endprint