關于如何學好充要條件的一些思考

李彥喆

【摘要】充要條件是數學學習，特別是數學邏輯推理的重要基礎，也是中學數學學習的難點.本文從聯系日常語言，結合簡單數學命題，利用命題等價性，利用集合間的包含關系等四個方面思考如何更好地理解和判斷充要條件，希望能對充要條件的學習提供一定的借鑒價值.

【關鍵詞】充要條件；理解；判斷

中學數學選修內容的第一章是簡易邏輯，其中的充要條件是重要的數學概念之一，它主要討論了命題的條件與結論之間的邏輯關系，目的是為今后的數學學習，特別是數學邏輯推理的學習打下基礎，同時它又是準確定義其他概念、定理的載體.但身邊的很多同學總是弄不清充分不必要、必要不充分、充要到底是怎么回事，教師也說充要條件的判斷是中學生數學學習中的一個難點.通過教師的講解和自己的琢磨，筆者發現是教材中的定義方法不易被理解，作為高中生怎樣學好充要條件，筆者的分析如下.

一、聯系日常語言理解充分條件與必要條件

數學上的充分條件、必要條件的“充分”“必要”兩詞，與日常生活中的“充分”“必要”意義相近，因此，可以通過生活實際理解充分條件與必要條件.例如，適當的溫度是種子發芽的必要條件，意思是沒有適當的溫度，種子就不會發芽，“適當的溫度”這個條件對“種子發芽”這個結論是必不可少的.再如，天下雨是道路濕的充分條件，意思是只要有“天下雨”這個條件就有“道路濕”這個結論.“天下雨”這個條件對“道路濕”這個結論的成立是充分的.生活中的“只要”有什么樣的條件就有什么樣的結論，其實說的就是“條件”是“結論”的充分條件.日常語言中的要達到什么樣的“結果”，“必須”有什么樣的“條件”，其實說的就是“條件”是“結果”的必要條件.

這樣就很容易明白除了極個別的特例，通常情況下，勤奮是成為學霸的必要條件，不是充分條件，也不是充要條件.因為大家都知道，勤奮不一定能成為學霸，而哪一個學霸不是辛勤努力的結果？勤奮不等于學霸，所以勤奮也不是成為學霸的充要條件.

數學語言來自于生活語言，所以，在學習中，要利用對“充分”“必要”的感性認識理解數學中的充分條件與必要條件的概念.

二、結合簡單的數學命題掌握充分條件與必要條件

有了對“充分”“必要”的感性認識，結合比較簡單的數學命題，就能夠切實理解教材中的定義.例如，x=0是xy=0的充分條件，我們可以說，只要有“x=0”這個“條件”就有“xy=0”這個“結論”，條件“x=0”對結論“xy=0”是充分的.一般地，如果命題若p則q為真，即條件p結論q，則條件p是結論q的充分條件.

如果以“xy=0”為條件，“x=0”為結論，因為xy=0x=0，所以條件不是結論的充分條件，而沒有“xy=0”這個條件就沒有“x=0”這個結論，也就是說，條件“xy=0”對結論“x=0”的成立是必要的，正如前面所說“適當的溫度”是“種子發芽”的必要條件，其中蘊藏著結論能夠推出條件一樣，我們說條件“xy=0”是結論“x=0”的必要條件，其實是因為結論“x=0”能夠推出條件“xy=0”.一般地，如果結論q條件p，則條件p是結論q的必要條件.

如果條件p結論q且結論q條件p，即條件p結論q，那么，條件既是結論的充分條件又是結論的必要條件，即條件是結論的充要條件.

從以上定義的產生過程中不難看出，判斷充分必要條件時，一定要分清哪個是條件，哪個是結論，條件是否能推出結論，結論是否能推出條件.還要清楚，充分條件、必要條件主要是對準條件說話的.

三、用命題的等價性判斷充分必要條件

四個命題與充分必要條件的關系可歸結為：

1.如果原命題為真，即條件p結論q，而其逆命題為假，即結論q條件p，則條件是結論的充分而不必要條件.

2.如果原命題為假，而逆命題為真，即條件p結論q，但結論q條件p，則條件p是結論q的必要而不充分條件.

3.如果原命題和逆命題同真，則條件是結論的充要條件.

4.如果原命題與逆命題同假，則條件既不是結論的充分條件，也不是結論的必要條件.

所以，我們判斷了原命題和逆命題的真假就判斷了條件的充分性與必要性.在判斷一些命題的真假時，還可以利用四種命題的等價性，即原命題與逆否命題同真假.

例如，（x-2）（x-3）≠0是x-2≠0的什么條件？

因為原命題的逆否命題是：若x-2=0，則（x-2）（x-3）=0，顯然為真，所以原命題為真，而原命題的否命題“若（x-2）（x-3）=0，則x-2=0”為假，所以原命題的逆命題為假，從而得到本題中的條件是結論成立的充分而不必要條件.

四、利用集合間的包含關系判斷充分條件與必要條件

我們把條件p所反映的內容（可以是數、點或圖形等）用集合P來表示，把結論q所反映的內容用集合Q來表示，若條件p結論q，那么，如果元素x∈P，則x∈Q，即PQ.從集合角度理解：

1.pq，當于PQ，即 或 .

即要使x∈Q成立，只要x∈P就足夠了——有它就行，所以條件是結論的充分條件.

2.qp，相當于PQ，即 或 .

即為使x∈Q成立，必須使x∈P——缺它不行.

3.pq，相當于P=Q，即 .

即條件和結論刻畫的是同一事物，能夠互相推出.

從集合的角度判斷充要條件，可以解決一些比較復雜的問題.

例如，p：x=2或x=3，q：x-3=3-x，p是q的什么條件？

解 方程x-3=3-x的解集為Q={x|x=3}，

P={x|x=3或x=2}，Q={x|x=3}，所以，PQ，p是q的必要不充分條件.

再如，p：x2x+3=x2，q：2x+3=x2，p是q的什么條件？

方程x2x+3=x2的解集為P={x|x=0或x=3}，

方程2x+3=x2的解集為Q={x|x=-1或x=3}，集合P和集合Q沒有包含關系，所以，p既不是q的充分條件也不是q的必要條件.

聯系日常語言理解“充分”“必要”的意義；結合簡單數學命題掌握充分條件和必要條件的概念；靈活運用命題的等價性，通過判斷原命題和逆命題的真假達到判斷是充分條件還是必要條件的目的；從集合的角度深化對充要條件概念的認識，運用集合的包含關系判斷條件和結論的關系，進而得到判斷充要條件的一般解題策略.當然，我們還需要把其他章節的數學基礎知識學好，才能把充要條件的題目一網打盡.

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