行列式擴階的初步研究

馮玉明+陳賈

【摘要】對一個行列式的擴階指的是：在已知行列式中，添加適當的行和列，得到新的行列式，使得該行列式的值與已知行列式的值相等.本文利用行列式的基本性質，對行列式擴階進行了初步研究，得到了一些有意思的結果.

【關鍵詞】矩陣；行列式；擴階

一、預備知識

通過文獻[1]我們知道行列式的基本算法和表示方法.現在我們看一看如何表示和計算一個矩陣的行列式.

n階矩陣A的行列式，記做

D=|A|=a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann.

矩陣A的行列式也可以定義為

D=|A|=∑i1i2…in（-1）t（i1i2…in）ai11ai22…ainn，

其中i1i2…in為n個自然數1，2，…，n的一個排列，t（i1i2…in）為i1i2…in排列的逆序數.

對于n各不同的元素，先規定各元素間有一個標準次序，在這n個元素的任意排列中，當某兩個元素的先后次序與標準次序不同時，就說有一個逆序.一個排列i1i2…in中所有逆序的總數稱為這個排列的逆序，記做t（i1i2…in）.

n階行列式中，把元素aij所在的第i行及第j列劃去后，留下的（n-1）2個元素按照原來的排法構成的n-1階行列式稱為元素aij的余子式，記Mij.

Mij冠以符號（-1）i+j得Aij=（-1）i+jMij，Aij稱為元素aij的代數余子式.

定義1.1[1] 設A=（aij）是n階矩陣，D=|A|，那么

（1）D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin.（i=1，2，…，n）

（2）D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj.（j=1，2，…，n）

二、主要結論

定理2.1 在n階行列式中每個相鄰元素間插入0，其他空余位置插入1，行列式結果不變.

證明 經計算可以知道

a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann

=∑i1i2…in（-1）t（i1i2…in）ai11ai22…ainn，

a110a120…0a1n0101…10a210a220…0a2n01001000101…10an10an20…0ann

=∑i1i2…in（-1）t（i1i2…in）ai11ai22…ainn.

因此，定理結論正確.

【參考文獻】

[1]張志讓，劉啟寬.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2008.endprint