數(shù)學(xué)中的審辨式思維

王俊行

【摘要】審辨式思維是一種判斷命題是否為真或是否部分為真的思維方式.審辨式思維概括為“不懈質(zhì)疑，包容異見(jiàn)，力行擔(dān)責(zé)”.審辨式思維不是簡(jiǎn)單的黑與白，而是表現(xiàn)為一個(gè)研究范式不斷更替、不斷轉(zhuǎn)換的過(guò)程，這是一個(gè)未有窮期的演進(jìn)過(guò)程.從數(shù)學(xué)的三次危機(jī)的爆發(fā)到解決，可以看到審辨式思維在數(shù)學(xué)發(fā)展中起到了非常關(guān)鍵的作用，敢于挑戰(zhàn)權(quán)威不斷質(zhì)疑，使數(shù)學(xué)發(fā)展得更加完美.審辨式思維必定在今后的數(shù)學(xué)研究中發(fā)揮出應(yīng)有的作用.

【關(guān)鍵詞】審辨式思維；數(shù)學(xué)發(fā)展；三次危機(jī)

一、審辨式思維

審辨式思維是一種判斷命題是否為真或是否部分為真的思維方式.審辨式思維的源頭在西方可以追溯到古希臘時(shí)蘇格拉底的方法，在東方可以追溯到古印度佛教的《卡拉瑪經(jīng)》（一部以倡導(dǎo)懷疑精神為突出特色的經(jīng)典）和《論藏》等佛教經(jīng)典.審辨式思維概括為“不懈質(zhì)疑，包容異見(jiàn)，力行擔(dān)責(zé)”[1].具有審辨式思維能力是創(chuàng)新型人才的重要心理特征.具備審辨式思維的人，對(duì)于復(fù)雜的問(wèn)題，不輕易相信所謂的“科學(xué)真理”，不相信唯一的標(biāo)準(zhǔn)答案，認(rèn)為不同前提條件和假設(shè)能夠得到不同的結(jié)論，同一事物具有多面性.具有審辨式思維能力的人思想解放、勇于創(chuàng)新、絕不保守.

二、審辨式思維在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用

數(shù)學(xué)的三次危機(jī)都是審辨式思維的運(yùn)用的典型案例，成功地化解危機(jī)，完善和推進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展.第一次數(shù)學(xué)危機(jī)：古希臘著名哲學(xué)家芝諾（約公元前490年到公元前425年）提出的四條悖論是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的誘因之一.他對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的質(zhì)疑引發(fā)了數(shù)學(xué)上的一次革命，從而定義了無(wú)理數(shù).令人遺憾的是希帕索爾被保守的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派投入了大海，以生命推進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展.第二次數(shù)學(xué)危機(jī)：在17、18世紀(jì)圍繞微積分的基礎(chǔ)定義發(fā)展開(kāi)展的一場(chǎng)討論，其中一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題就是無(wú)窮小量究竟是不是0？無(wú)窮小及其分析是否合理？從而引起了數(shù)學(xué)階段第二次危機(jī).羅爾甚至說(shuō)：“微積分是巧妙的謬論的匯集.”波爾查諾、阿貝爾、柯西等數(shù)學(xué)家長(zhǎng)達(dá)半個(gè)多世紀(jì)對(duì)這些問(wèn)題的審辨解決了18世紀(jì)數(shù)學(xué)思想的不嚴(yán)密性，完善了微積分理論，無(wú)窮小、無(wú)窮大更加熠熠生輝.第二次危機(jī)沒(méi)有阻礙到微積分的發(fā)展和廣泛應(yīng)用，反而推進(jìn)了微積分在物理天文中等更廣闊領(lǐng)域的發(fā)展.對(duì)微積分的審辨遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有結(jié)束，馬克思在他的《數(shù)學(xué)手稿》中就明確指出求導(dǎo)運(yùn)算應(yīng)該是嚴(yán)格的、特定的00，批判了所謂的“無(wú)限趨近”的說(shuō)法.第三次數(shù)學(xué)危機(jī)：這次危機(jī)是由于在康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)悖論造成的.這些悖論演繹成各種通俗易懂的數(shù)學(xué)故事，最著名的是羅素于1919年給出的理發(fā)師問(wèn)題：理發(fā)師公布了一個(gè)原則，他給本村中所有不給自己刮臉的人刮臉，并且只給村里的這樣的人刮臉.當(dāng)有人問(wèn)他是否給自己刮臉時(shí)悖論就出來(lái)了：如果他給自己刮臉，那么他就不符合他的原則；如果他不給自己刮臉，那么按照原則就該為自己刮臉，自相矛盾.因?yàn)榧细拍钜呀?jīng)滲透到眾多的數(shù)學(xué)分支，成為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因此，引起了對(duì)數(shù)學(xué)的懷疑.危機(jī)的逐漸解決直接促進(jìn)了公理集合論的發(fā)展.當(dāng)然，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)是一次深刻的危機(jī)，一些問(wèn)題還在繼續(xù)的審辨之中，對(duì)它的不斷質(zhì)疑必將推動(dòng)數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展.

非歐幾何的發(fā)展也是審辨式思維運(yùn)用的成果.從數(shù)學(xué)史知道在羅巴切夫斯基（N.Lobatchky）、高斯（C.Gauss）創(chuàng)立非歐幾何前，受傳統(tǒng)思想的束縛，1 800多年幾乎所有數(shù)學(xué)家都認(rèn)為歐氏幾何是物質(zhì)世界和此空間內(nèi)的圖形性質(zhì)的正確理想化.實(shí)際上歐式幾何對(duì)平行線的公設(shè)做了大量的解釋?zhuān)⑶以谶\(yùn)用中也非常謹(jǐn)慎，能避開(kāi)不用時(shí)盡量不用，顯示出了極不自信.正是因?yàn)楦咚埂⒘_巴切夫斯基、蘭伯特等人運(yùn)用審辨式思維對(duì)前人的質(zhì)疑，從而出現(xiàn)了非歐幾何，幾何學(xué)才從傳統(tǒng)的束縛中解放出來(lái)，大批幾何學(xué)產(chǎn)生了.所以M·克萊因認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是一門(mén)知識(shí)體系，但它卻不含任何真理.”[2]克萊因之所以認(rèn)為數(shù)學(xué)中沒(méi)有真理，一方面，是因?yàn)閿?shù)學(xué)的一些分支中的定理與另外一些分支中的定理是相左的[3].所謂真理是放之四海而皆準(zhǔn)，是經(jīng)過(guò)理論—實(shí)踐—再理論—再實(shí)踐的過(guò)程.然而，數(shù)學(xué)作為抽象理論，有些是無(wú)法檢驗(yàn)的或者是現(xiàn)代理論無(wú)法驗(yàn)證，如平行公設(shè)、無(wú)窮小、無(wú)窮大、n維空間等等.克萊因認(rèn)為科學(xué)是在尋求關(guān)于物質(zhì)世界的真理，而數(shù)學(xué)并非如此.他雖然否認(rèn)數(shù)學(xué)中存在真理，但他深信數(shù)學(xué)是人們征服自然的神奇力量.數(shù)學(xué)一直在審辨中發(fā)展，不斷地質(zhì)疑促進(jìn)了科技的進(jìn)步和人類(lèi)的發(fā)展.愛(ài)因斯坦曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“科學(xué)行之有效，但它是否就是真理.”這個(gè)觀點(diǎn)和克萊因不謀而合.數(shù)學(xué)被稱(chēng)為科學(xué)皇冠上的那顆明珠，越來(lái)越深刻地影響著人們的思維，改變著人類(lèi)非黑即白的觀念，引導(dǎo)著人們“不懈質(zhì)疑，包容異見(jiàn)，力行擔(dān)責(zé)”.數(shù)學(xué)在不斷地質(zhì)疑中不斷發(fā)展.英國(guó)大數(shù)學(xué)家懷特海曾預(yù)言：“在人類(lèi)思想領(lǐng)域，具有壓倒性的新的情況將是數(shù)學(xué)地理解問(wèn)題占統(tǒng)治地位.”[4]

三、審辨式思維方法為數(shù)學(xué)研究打通了一條通途

進(jìn)入20世紀(jì)中葉，在哲學(xué)界、科學(xué)界等學(xué)術(shù)共同體中，對(duì)絕對(duì)真理持以根本的懷疑和高度的警惕成為主流，并逐漸影響到其他學(xué)科和一般大眾.審辨式思維以此為基礎(chǔ)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)揚(yáng)光大，從亞里士多德到牛頓，從牛頓到愛(ài)因斯坦，他們的理論都是正確的，都是科學(xué)的，然而都只是在某個(gè)范式下正確、科學(xué).在不同的研究背景下可以得到不同的結(jié)果，沒(méi)有一元的本質(zhì)（essence），只有多元的特質(zhì)（trait）.論證與反駁一起，構(gòu)成了思辨的核心，數(shù)學(xué)的發(fā)展必定在審辨中前行.

【參考文獻(xiàn)】

[1]謝小慶.審辨式思維[M].上海：學(xué)林出版社，2016.

[2]鄧東皋，孫小禮.數(shù)學(xué)文化[M].北京：北京大學(xué)出版社，1990.

[3]孫宏濤.小議數(shù)學(xué)發(fā)展的哲學(xué)問(wèn)題及其在數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)關(guān)系中的表現(xiàn)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2003（1）：101-110.

[4]黃祥.數(shù)學(xué)方法論[M].重慶：重慶大學(xué)出版社，1995.endprint