含“多項式”的一階微分方程解法的討論

孫瑞潔+武海輝

【摘要】本文根據方程的特點，利用變量代換、積分因子法、常數變易法、湊微分等基本方法對幾個含復雜多項式的一階微分方程進行求解并分析.

【關鍵詞】變量代換；積分因子法；常數變易法；一階微分方程

【基金項目】安康學院自然科學基金項目（2017AYQN09）.

在對“常微分方程”第二章的學習中，我們在教師的講解下學會了求解一階微分方程的基本方法，如，變量代換、湊微分等.下面將利用所學知識解決幾個含復雜“多項式”的一階微分方程.

方程1 解方程4xydx+（2x2+5xy-1）dy=0.

法一 ∵dMdY=4x≠dNdx=4x+5y，

∴此方程不為恰當方程.

又∵M與N都為多項式，∴設積分因子為μ=xmyn.

方程兩邊同時乘μ，即可得

4xm+1yn+1dx+（2xm+2yn+5xm+1yn-1）dy=0.（1）

（1）為恰當方程的充要條件為dM1dY=dN1dx，

其中M1=4xm+1yn+1，N1=2xm+2yn+5xm+1yn-1，

即可得

4（n+1）xm+1yn=2（m+2）xm+1yn+5（m+1）xmyn-14（n+1）=2（m+2），5（m+1）=0 n=-12，m=-1，

∴μ=x-1y-12，

∴（1）式可化為4y12dx+（2xy-12+5y-32）dy=0.

化簡得y12dx+4xdy12-10dy-12=0，

湊微分得d4xy12-10dy-12=0.

故原方程的通解為4xy12-10y-12=0.

分析 通過觀察給出方程的形式，判斷其不是恰當方程，然后根據其對應的M與N的形式，設對應的積分因子并轉換為恰當方程求解.

法二 原式可變形為dydx=-4xy2x2+5xy-1.

將x與y地位對換，即可得

dxdy=2x2+5xy-1-4xy=-x2y-54y2.（2）

顯然（2）為非齊次線性方程，

其中p（y）=-12y，q（y）=-54y2.

（2）式對應的齊次方程的解為x=ce∫-12ydy=cy-12.

設x=c（y）y-12為原方程的解，代入即可得

c′（y）·y-12-12y-32·c（y）=12∫-54y-32·c（y）-54y2，

則c（y）=∫-54y-32dy=52y-12+c.

故原方程的通解為x=y-1252y-12+c，其中c為任意常數.

法三 對（2）式直接用通解公式求解.即可得

x=e∫p（y）dy[∫q（y）e∫-p（y）dydy+c]

=e∫-12ydy∫-54y2e∫-12ydydy+c

=y-12-54∫y-32dy+c=y-1252y-12+c.

故原方程的通解為

x=y-1252y-12+c，其中c為任意常數.

分析 觀察分子、分母，將其顛倒，轉換為一階線性微分方程，利用常數變異法或通解公式求解.

方程2 解方程xdydx-y=2x2y（y2-x2）.

解 令u=x2y，則y=ux2，

則dudx=2xy+x2dydx=2ux+x2·dydx，

代入原方程，得1xdudx-2ux-ux2=2uu2x4-x2，

整理得dudx=3x-2x3u+2x3u3.（3）

顯然，由（3）式可看出：此方程為n=3的貝努利方程.

令z=u-2，dzdx=-2u3dudx，

代入（3）式得dzdx=-23x-2x3z-4x3.

應用一階非齊次微分方程的求解公式，即可得

z=e-∫23x-2x3 dx∫-4x3e∫23x-2x3 dxdx+c.

把z=u-2，u=x2y代入，可得原方程的通解為

x2-y2=cy2ex4，其中c為任意常數.

分析 通過合適的變量代換，轉換為貝努利方程進行求解.

方程3 dydx=4x3-2xy3+2x3x2y2-6y5+3y2.

解 原方程可變形為3y2dy2xdx=2x2-y3+1x2-2y2+1，

令u=y3，v=x2，則dudv=2v-u+1v-2u+1，

即可得（v-2u+1）du-（2v-u+1）dv=0，

化簡得（vdu+udv）-2udu+1du-2vdv-1dv=0，

分項組合得d（uv-u2-v2+u-v）=0，

將u=y3，v=x2代入，

即可得原方程的通解為y3x2-y6-x4+y3-x2=c，其中c為任意常數.

分析 通過合適的變量代換，分項組合進行求解.

【參考文獻】

[1]王高雄.常微分輔導及習題精解：第三版[M].延吉：延邊大學出版社，2011.

[2]李必文，趙臨龍，張明波.常微分方程[M].武漢：華中師范大學出版社，2014.endprint