淺談貝努利試驗、二項分布和兩點分布的關系和應用

劉小艷 嚴鈞

【摘要】本文給出了貝努利試驗、二項分布和兩點分布之間的關系，并將這些關系應用到中心極限定理和大數定律的收斂速度的討論中.

【關鍵詞】貝努利試驗；二項分布；兩點分布

【基金項目】江蘇省自然科學基金，金融保險中的大偏差和定價（編號202010006）.

本文給出了貝努利試驗、二項分布和兩點分布之間的關系，并將應用這些關系來討論中心極限定理和大數定律的收斂速度.

定義1 （貝努利試驗）在n重獨立重復試驗中，如果每次試驗的結果只有兩種，則稱該n重試驗為貝努利試驗.

定理1 （貝努利定理）設事件A發生的概率為p，則在n重貝努利試驗中事件A發生k次的概率為Cknpk（1-p）n-k，k=0，1，2，…，n.

定義2 （二項分布）如果隨機變量X服從二項分布B（n，p），則隨機變量X的分布律為P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k，k=0，1，2，…，n.

定理2 貝努利試驗和二項分布的關系：在n重貝努利試驗中，事件A發生的次數服從二項分布.

定理2的證明 設X表示n重貝努利試驗中事件A發生的次數，則P（X=k）表示n重貝努利試驗中事件A發生k次的概率；另一方面，由貝努利定理我們知道，n重貝努利試驗中事件A發生k次的概率為Cknpk（1-p）n-k，所以P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k，即X服從二項分布B（n，p）.

二項分布和兩點分布的關系：二項分布B（1，p）即為兩點分布；二項分布B（n，p）可以看成是n個獨立同分布的兩點分布的和.設X～B（n，p），X1，X2，…，Xn是獨立同分布的隨機變量序列P（X1=1）=p，則X和∑nk=1Xk具有相同的分布.要證明X與∑nk=1Xk同分布，只需要證明X與∑nk=1Xk具有相同的特征函數.X的特征函數為（1-p+eitp）n，∑nk=1Xk的特征函數為（E（eitX1））n=（1-p+peit）n.X和∑nk=1Xk的特征函數相同，所以它們具有相同的分布率.

下面我們給出X和∑nk=1Xk具有相同的分布這一結論的兩個應用.

應用1 由中心極限定理知，∑nk=1Xk-npnp（1-p）近似服從N（0，1），由于正態分布的線性函數仍然是正態分布，所以∑nk=1Xk近似服從N（np，np（1-p）），所以X也近似服從N（np，np（1-p）），這樣我們就可以用一個正態分布去近似二項分布.

應用2 由大偏差理論，對于任意的ε>0，有

P∑nk=1Xkn-p>ε≌exp{-ninf{I（x）：x∈（-∞，p-ε）∪（p+ε，+∞）}}，

其中I（x）=supθ∈R{θx-log（1-p+peθ）}>0，故∑nk=1XknPp，而X和∑nk=1Xk同分布，所以XnPp，而Xn表示事件A發生的頻率，p為事件A的概率，XnPp表示頻率穩定于概率，并且，Xn“快速”穩定到p.

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