一元函數(shù)的定積分計算

李聰+郭豆豆

【摘要】微積分是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，一元函數(shù)積分計算對學(xué)生思維的發(fā)展以及后繼課程的學(xué)習(xí)有重要的作用.本文討論了一元函數(shù)定積分的計算方法，其中主要涉及了換元積分法和分部積分法，同時分類討論了有理函數(shù)、三角函數(shù)以及簡單無理函數(shù)的積分問題，并介紹了積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、牛頓-萊布尼茨公式、反常積分等理論.

【關(guān)鍵詞】一元函數(shù)；積分計算；換元積分；分部積分

不定積分和定積分是數(shù)學(xué)積分學(xué)領(lǐng)域的兩大基本問題.計算不定積分是求導(dǎo)的逆運算，計算定積分是計算某種特殊和式的極限.下面我們主要介紹定積分的計算方法.

一、換元積分法

在已經(jīng)了解到求解很多函數(shù)的相應(yīng)原函數(shù)都需要借助換元法或者分部積分法，所以，換元積分法以及分部積分法對定積分運算也是十分重要的.定理：如果有f（x）在閉區(qū)間[a，b]上具有連續(xù)性；x=φ（t）在閉區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)連續(xù)不變號；函數(shù)x=φ（t）的值隨t在閉區(qū)間[α，β]上的改變而改變，并且φ（α）=a，φ（β）=b，于是可得∫baf（x）dx=∫βαf[φ′（t）]dt.在應(yīng)用如上定理計算定積分時，一定要注意x=φ（t）需要滿足的條件，改變積分變量時要記得改變積分上下限，然后再計算新變量積分的值.

例1 計算定積分∫21x-1xdx.

解 做變換x-1=t，那么有x=1+t2，dx=2tdt.當(dāng)x取1時，t=0；當(dāng)x取2時，t=1.所以原式=∫102tdt1+t2=2∫101-11+t2dt=2（t-arctant）|10=21-π4.

二、分部積分法

設(shè)函數(shù)u=u（x）和函數(shù)v=v（x）都在閉區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)連續(xù)，于是根據(jù)微分法則d（uv）=vdu+udv，變形可得udv=d（uv）-vdu，兩邊同時在閉區(qū)間[a，b]上積分有∫baudv=（uv）|ba-∫bavdu，如上所述式子即為定積分的分部積分公式，這里的a，b分別是x的下限和上限.

例2 計算定積分∫e1lnxdx.

解 令u=lnx，dv=dx，于是原式=[xlnx]|e1-∫e1xdxx=（e-0）-（e-1）=1.

三、有理函數(shù)定積分

有理函數(shù)定積分問題和有理函數(shù)不定積分問題往往聯(lián)系十分緊密，求解方法也類似.

例3 計算∫π412dxx4（1+x2）.

解 對被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)拆分可得：

原式=∫π4121x4dx-∫π4121x2dx+∫π4121x2+1dx

=-13x3π412+1xπ412+arctanxπ412

=-643π2+4π-arctan12+53.

四、三角函數(shù)定積分

三角函數(shù)定積分求解問題，可以像求解三角函數(shù)不定積分問題那樣，借助萬能代換tanx2將問題簡單化.

例4 計算定積分∫2π3π2（1+sinx）dxsinx（1+cosx）.

解 令t=tanx2，則原式=∫3112t+2+1tdt=12t22+2t+ln|t|31=ln3+43-24.

五、積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，令x∈[a，b]，考慮定積分∫xaf（x）dx=∫xaf（t）dt.若上限x在閉區(qū)間[a，b]上隨意改變，那么對任意一個確定的x，都有一個定積分值與之對應(yīng)，因為它在閉區(qū)間[a，b]上確定了一個函數(shù)，記為Φ（x）=∫xaf（t）dt，叫作積分上限函數(shù).積分上限函數(shù)具有如下性質(zhì)：設(shè)函數(shù)f（x）是定義在閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，則積分上限函數(shù)Φ（x）=∫xaf（t）dt在閉區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)是Φ′（x）=ddx∫xaf（t）dt=f（x），a≤x≤b，利用該性質(zhì)可以簡化某些極限問題.

六、牛頓-萊布尼茨積分法

牛頓-萊布尼茨公式完美地將定積分與不定積分結(jié)合在一起.利用該公式，能夠借助不定積分運算求解定積分問題.牛頓-萊布尼茨公式要求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]一定要具有連續(xù)性.不定積分與定積分原本是兩個互相獨立的存在，然而如果有連續(xù)做前提，這兩者是可以被聯(lián)系到一起的，這不僅在很大程度上方便了定積分運算，也從理論的角度為微分和積分架起了橋梁，這在整個數(shù)學(xué)分析發(fā)展歷史上都具有十分重要的意義.

七、反常積分

計算較簡單的反常積分時，應(yīng)該首先考慮利用反常積分的定義，解題步驟大致可歸納為兩步：首先，計算定積分∫Aaf（x）dx=F（x）；然后，求極限limA→+∞∫Aaf（x）dx=limA→+∞F（A）.

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