固有周期公式的推導(dǎo)及拓展

摘 要：本文從兩個(gè)不同的角度推導(dǎo)出了簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期公式T=2πmk。在研究小角度擺動(dòng)的單擺時(shí)，首先證明了其為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，找出了比例系數(shù)k，推導(dǎo)出單擺的周期公式T=2πl(wèi)g。隨后對(duì)其他情況下斜面上的單擺、處于向上加速系統(tǒng)中的單擺、向下加速系統(tǒng)中的單擺的周期進(jìn)行了深入的探討。

關(guān)鍵詞：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；周期公式；導(dǎo)數(shù)；非慣性參考系

人教版物理選修3-4第十一章《機(jī)械振動(dòng)》第17頁(yè)指出：惠更斯確定了計(jì)算單擺周期的公式：T=2πl(wèi)g，書(shū)上對(duì)于惠更斯是如何得到這個(gè)公式的沒(méi)有給出具體的過(guò)程，而是以結(jié)論的形式直接給出的。現(xiàn)在簡(jiǎn)要說(shuō)一下個(gè)人的一些思路。不妨先從彈簧振子入手。

如圖（1）所示：以角速度ω沿半徑為R的圓軌道做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)P在初始時(shí)刻對(duì)應(yīng)的角度為φ，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為ωt，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的角度為ωt+φ，

位移為：x=Rsin（ωt+φ）=Asin（ωt+φ），

顯然質(zhì)點(diǎn)在x軸上的投影為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度為：x

an=ω2R，在x軸上的分量大小為：ax=ω2Asin（ωt+φ），

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力的大小為：F回=kx=kAsin（ωt+φ），

圖（1）

則根據(jù)牛頓第二定律有：F回=kx=kAsin（ωt+φ）=max=mω2Asin（ωt+φ），

則有：k=mω2，即k=m4π2T2，所以有T=2πmk（圖1）

換個(gè)思維方法：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移和時(shí)間的關(guān)系式為：x=Asin（ωt+φ）

在位移-時(shí)間圖象中，斜率表示速度。

因此上式對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)：v=dxdt=Acos（ωt+φ）.ω

在速度-時(shí)間圖象中，斜率表示加速度。因此上式對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)：

a=dvdt=-Aωsin（ωt+φ）。ω=-Aω2sin（ωt+φ）

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中回復(fù)力與位移的關(guān)系為：F回=-kx=-kAsin（ωt+φ）=ma

將以上兩式聯(lián)立得：k=mω2，即k=m4π2T2，所以有T=2πmk（其中k為比例系數(shù)）

上式對(duì)于任意的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)都適用，具有普遍性。下面我們研究一下單擺的周期問(wèn)題。

如圖（2），當(dāng)θ較小時(shí)，F(xiàn)回=-mgsinθ=-mglx，可看成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。對(duì)比簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中回復(fù)力與位移的關(guān)系：F回=-kx，可以看出k=mgl，代入T=2πmk，可得單擺的周期公式為T(mén)=2πl(wèi)g

當(dāng)單擺在傾角為θ的光滑斜面上小角度擺動(dòng)時(shí)，如圖（3）所示。擺球受到重力mg、支持力FN和繩子的拉力F的作用。為了處理問(wèn)題的方便，我們可以先將重力mg進(jìn)行分解，如圖（4）所示。這樣支持力FN就被重力的分力mgcosθ給平衡掉了。使得擺球在沿著斜面上的力就只剩下繩子的拉力F和重力的分力mgsinθ了，如圖（5）所示。下面我們就可以集中精力研究沿著斜面上的力學(xué)問(wèn)題了，如圖（6）所示。則有：

F回=-（mgsinθsinφ）=-（mgsinθxl）=-mgsinθlx，對(duì)比F回=-kx，可知k=mgsinθl，代入

T=2πmk，得T=2πl(wèi)gsinθ，下面我們來(lái)研究一下非慣性參考系中單擺的周期問(wèn)題。

一、 單擺處于向上加速的電梯中

向上加速的電梯是一個(gè)非慣性參考系，為了使牛頓第二定律在形式上依然成立，可以在非慣性參考系中引入慣性力ma，F(xiàn)回=-（mg+ma）sinθ=-（mg+ma）xl，對(duì)比F回=-kx，可知k=mg+mal，代入T=2πmk，得T=2πl(wèi)g+a

二、 單擺處于向下加速的電梯中

同理在非慣性參考系中引入慣性力ma，F(xiàn)回=-（mg-ma）sinθ=-（mg-ma）xl，對(duì)比F回=-kx，可知k=mg-mal，代入T=2πmk，得T=2πl(wèi)g-a

參考文獻(xiàn)：

[1]漆安慎，杜嬋英.普通物理學(xué)教程力學(xué)[M].高等教育出版社，2001.

作者簡(jiǎn)介：

王啟平，新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊市，新疆實(shí)驗(yàn)中學(xué)。endprint