從一些具體的線性方程組中了解線性代數(shù)中一些概念的產(chǎn)生

王文婭++郭仲凱

摘要：本文從一些具體的線性方程組的解法出發(fā)，考察線性代數(shù)中一些相關(guān)概念的提出。

關(guān)鍵詞：線性方程組；行列式；矩陣；向量組

華羅庚曾經(jīng)說過，從具體到抽象是數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要大道。因此教師在教授相關(guān)知識的時候也應(yīng)該遵循這個原則，從具體的東西出發(fā)，一步一步的抽出其中包含的內(nèi)在規(guī)律從而達(dá)到一般化，使學(xué)生對其所學(xué)的內(nèi)容有著較為深刻的理解。本文從一些具體的線性方程組的解法出發(fā)，考察線性代數(shù)中一些相關(guān)概念的給出，使學(xué)生了解到一些概念的給出是自然的，是為了在線性方程組的解的問題上方法更為統(tǒng)一，從而提高學(xué)生對數(shù)學(xué)中一些問題的分析能力和認(rèn)知能力。

線性代數(shù)教材的第一章一般都是講行列式以及行列式的各種計算，行列式概念的提出應(yīng)該不止一種原因，但我們應(yīng)該選擇一種學(xué)生已有知識結(jié)構(gòu)的情況下從已有的知識過渡到行列式的概念。讓學(xué)生了解原來所學(xué)的東西與我們以前的知識是相關(guān)的，并且比之前所學(xué)的更一般，得出這樣一般的結(jié)論的原因是因為我們對過去所學(xué)的東西做了充分的觀察與分析，正因為作了充分的觀察與分析我們發(fā)現(xiàn)了一定的內(nèi)在規(guī)律，為了把這些內(nèi)在的規(guī)律顯現(xiàn)出來我們需要一些新的概念，從而新的概念就誕生了，這是一個很自然的過程。

考慮線性方程組 ，很容易得出方程的解為 當(dāng)然如果就此罷手則我們永遠(yuǎn)停留在如何解這種形式具體的方程組，這好像一個人每次碰到一個不同的圓時都能花時間求出這個圓的面積一樣，但他卻不知道圓面積的內(nèi)在規(guī)律是半徑的平方乘以π，類似的道理我們要問，有沒有一種方法能夠把這種形式為 個有效方程 個未知量的方程組統(tǒng)一解決呢？答案是肯定的，這就是克萊姆法則所所回答的，通過運(yùn)算我們發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律： 不難看出分子分母形式上看其實(shí)都一樣，這可以說算得上是一個內(nèi)在的規(guī)律，因此我們可以給一個統(tǒng)一的定義，這個定義就是行列式，定義如下： ，由此，方程的解為 ，

因此分母其實(shí)就是有方程組等式左邊相應(yīng)位置的系數(shù)構(gòu)成的，而分子分別用方程組右端的數(shù)分別替換掉 的系數(shù)（當(dāng)分別求解 時），這就是一種統(tǒng)一的方法，也是我們尋找的內(nèi)在規(guī)律，當(dāng)然我們?nèi)绻枰鉀Q這種類型更一般的方程組，我們需要給出一般方程組的系數(shù)所構(gòu)成的行列式的定義，以及行列式的算法，為此會產(chǎn)生逆序等相關(guān)的概念以及一系列行列式的計算方法。

考慮方程組 ，對于這種方程組我們能不能利用克萊姆法則去解呢？顯然不行，因為其系數(shù)行列式?jīng)]有定義，因此處理這種方程組我們得尋求其他方法，或者尋找其他處理工具，為此我們引入矩陣，其實(shí)就是把方程組里的系數(shù)列成一個數(shù)表，如下：

，因此我們可以以這個角度來看線性方程組，即一個方程組對應(yīng)一個矩陣。

考察線性方程組 ，其對應(yīng)的矩陣為

利用初中解方程的方法可得原方程組等價于 ，其對應(yīng)的矩陣為 再次做等價變換則原方程組等價于 ，其對應(yīng)的矩陣為

再次做等價變換則原方程組等價于 ，其對應(yīng)的矩陣為

再次做等價變換則原方程組等價于 ，其對應(yīng)的矩陣為

從上面的過程可以看出，為了解出方程我們運(yùn)用了交換兩個方程，對應(yīng)于矩陣中為交換兩行；某一個方程乘以倍數(shù)，對應(yīng)于對矩陣中某行乘以倍數(shù)；某個方程的倍數(shù)加減到另一行，對應(yīng)到矩陣為某一行的倍數(shù)加到另一行，對于矩陣中這樣的運(yùn)算我們稱為初等變換。由此看出初等變換這個概念其實(shí)就是我們初中解方程組的另一種描述而已。同時行階梯行最簡矩陣相應(yīng)而生，因為行最簡的形式就是與我們消元法中把方程組等價變形為最簡單形式的等價方程組對應(yīng)。

考慮方程組 ，對應(yīng)的矩陣為

利用消元法的出其等價方程 ，無解，其對應(yīng)矩陣為 ，即如果方程組對應(yīng)的矩陣滿足 這種情形則原方程無解，其特點(diǎn)除去最后一列則非零行為1行，加上最后一列，非零行為2不等于1，對于只考察通過初等變換化成行階梯形式中的非零行的行數(shù)，書上給出的概念為秩（秩的大小可以理解為有效方程的個數(shù)），并且有相應(yīng)的結(jié)論，即除去最后一列和加上最后一列兩種情況的秩如果不同： 則方程無解，由此可以看出秩的這個概念對于方程組有解還是無解的判定有一定的方便，具體參看教材利用秩判定齊次方程和非齊次方程有解無解的條件。

考察方程組 ，不難計算該方程組等價于 ，即不存在 使得 成立，按照教材上的定義稱向量 不能由 與 線性表示。

所以線性表示其實(shí)是非齊次方程有解無解的另一種描述。類似的，線性相關(guān)與線性無關(guān)對應(yīng)于齊次方程是否有零解與非零解的另一種描述。

考慮方程 ，不難利用矩陣的運(yùn)算可得方程組可化為 ，抽象為 ，其中 ，而 類似于初中的 ，對于 兩邊同時乘以 可得 即可解出未知量，那么對于 是否有類似的運(yùn)算呢？使得 ，為此我們需給出 的定義，也就是矩陣逆的概念，當(dāng)然需要注意只有可逆的方陣才能求逆，因此該方法只能處理一部分方程組。

一般的線性代數(shù)教材大部分內(nèi)容其實(shí)都圍繞線性方程組是否有解，如果有，解的具體形式是什么，如果沒有，為什么沒有等一系列問題展開，從而引入一系列相關(guān)的概念以及工具和結(jié)論，從而達(dá)到在統(tǒng)一的框架下解決所有線性方程問題。這與圓的面積有統(tǒng)一的計算公式是一個道理。所以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還是要從具體出發(fā)，然后過渡到一般，最后再回到一般的具體（練習(xí)），從而熟能生巧，統(tǒng)一解決類似的問題。

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