高考數學卷里的亮點

劉冰

2017年，高考考試大綱修訂內容中增加了對數學文化的要求，但是高考數學試題中早就出現過以數學文化為背景的新穎命題，經過持續發展，在2018年高考中呈現出了求新、求變的效果.把歷史和文化內容引入高考數學，為高考數學題打上了文化的烙印.教師應在平時的教學中弘揚中國傳統文化，吸收世界文化的精華，引導學生胸懷祖國，放眼世界.

例1（2018年全國新課標I，理10）下圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區域記為I，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點，此點取自I，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則

A.p1=p2 B.p1=p3 ? ? C.p2=p3 ? D.p1=p2+p3

解析：設AB=a，AC=b，BC=■設整個圖形的面積為S

則p1=■，p2=■{■+■-[■-■ab]}=■=p1

故選A.

【數學文化】古希臘數學家希波克拉底發現的一條平面幾何里應用廣泛的優美定理——月牙定理，指以直角三角形兩條直角邊為直徑向外做兩個半圓，以斜邊為直徑向內做半圓，則三個半圓所圍成的兩個月牙型面積之和等于該直角三角形的面積.本題依據這一定理考查幾何概型問題.

例2（2017年全國卷II，理3）我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈（ ? ）

A.1盞 ? ? ? ? ? B.3盞 ? ? ? ? ? C.5盞 ? ? ? ? ? ? ?D.9盞

解析：設頂層燈數為a1，q=2，s7=■=381，解得a1=3.故選B.

【數學文化】《算法統宗》，又名《直指算法統宗》《新編直指算法統宗》，明代數學家程大位撰，共17卷.

1592年編成《算法統宗》共列算題595道，以珠算為主要的計算工具，卷一介紹數學常識，卷二介紹珠算，卷三以后分別為方田、粟布、衰分、少廣、分田截積、商功、均輸、盈虧、方程、勾等，第十七卷附以難題雜法，又列有14個縱橫圖.本題以數學史中《算法統宗》的一個問題為包裝，考查數列問題.

例3（2016年全國新課標II，理8）中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，實現該算法的程序框圖見下頁.執行該程序框圖，若輸入的x=2，n=2，依次輸入的a為2，2，5，則輸出的s= ? ? ? ?.

（A）7 ?（B）12 ?（C）17 ?（D）34

解析：第一次運算：s=0×2+2=2，

第二次運算：s=2×2+2=6，

第三次運算：s=6×2+5=17，

故選C.

【數學文化】秦九韶算法是中國南宋時期的數學家秦九韶提出的一種多項式簡化算法.在著作《數書九章》中提出了這一先進的多項式簡化算法.

一般一元n次多項式的求值需要經過■次乘法和n次加法，而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法.在人工計算時，大大簡化了運算過程.本題以數學史中《秦九韶算法》的問題為背景，考查程序框圖問題.

例4（2015年全國卷II，理8）下邊程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”.執行該程序框圖，若輸入a，b分別為14，18，則輸出的a = ? ? ? .

（A）0 ? ? ? ? ? ? ? ?（B）2

（C）4 ? ? ? ? ? ? ? ?（D）14

解析：逐次運行程序，直至程序結束得出a .

a = 14，b = 18.

第一次循環：14≠18且14<18，b = 18-14 = 4;

第二次循環：14≠4且14>4，a =14 -4=10;

第三次循環：10≠4且10>4，a = 10-4 = 6;

第四次循環：6≠4且6>4，a = 6-4 = 2;

第五次循環：2≠4且2<4，b = 4-2 = 2;

第六次循環：a = b = 2，跳出循環，輸出a = 2，

故選B.

【數學文化】更相減損術出自《九章算術》中的求最大公約數的算法，原本是為約分而設計的，但它適用于任何需要求最大公約數的場合.本題將更相減損術與程序框圖相結合，加大了該問題的考查難度.考生若能看出此程序框圖的功能，便很容易解決.

例5（2015年湖北卷，理2）我國古代數學名著《數書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1 534石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為