淺析豪斯道夫維數

盛鐵軍+馮莉莉??

摘 要：在眾多的分形維數當中，豪斯道夫維數是最基本、最重要、應用最廣泛的一種，在處理測度的概念的基礎上相比較而言更為容易，它在任何的集合上都是有定義的，但是在許多的情況下無法計算或者估算維數的值。本文先從豪斯道夫維數的定義入手進行簡單的分析，再對它的性質進行了解，引用三分康托集來計算豪斯道夫維數。

關鍵詞：豪斯道夫維數；豪斯道夫測度；三分康托集

一、 豪斯道夫維數的定義

設t>s，且{Ui}是F的δ-覆蓋，當對每一i都有0<|Ui|≤δ，有∑i|Ui|t=

∑i|Ui|t-s|Ui|s≤δt-s∑i|Ui|s，又同時取inf

∑

SymboleB@ i|Ui|t≤δt-sinf∑

SymboleB@ i|Ui|s，故h-tδ（F）≤δt-sh-sδF。

當δ→0時，對于t>s，如果h-s（F）<

SymboleB@ ，那么h-t（F）=0。

定義：使得h-s（F）從

SymboleB@ 跳躍到0的臨界點s的值就稱為F的豪斯道夫維數，記dimHF，即dimHF=infs：h-s（F）=0=sups：h-s（F）=

SymboleB@

或者h-s（F）=

SymboleB@ ，若sdimHF。

注：如果s=dimHF，那么h-s（F）可以是零或者無窮或者滿足0

二、 豪斯道夫維數的性質

1. 開集：如果FRn是開集，由于F中含有一個正n維體積的球，因此dimHF=n。

2. 可數集：如果F為可數的，故dimHF=0.其中，若Fi是一單點，則h-0（Fi）=1，dimHF=0，由數學中的可數穩定性質，dimH∪ SymboleB@ i=1Fi=0。

3. 光滑集：如果F是Rn中的光滑的m維流形，那么dimHF=m。

4. 單調性：如果EF，那么dimHE≤dimHF。

5. 可數穩定性：如果F1，F2，…為一個可數的集序列，那么dimH∪ SymboleB@ i=1Fi=sup1≤i< SymboleB@ {dimHFi}。由單調性可知，對于每一個j，必然有dimH∪ SymboleB@ i=1Fi≥

dimHFj.另外，如果s>dimHFi，則對任何的i，h-sFi=0，因此，h-s∪

SymboleB@ i=1F=0，隨之給出反向不等式。

6. 變換性：由豪斯道夫維數測度的相關性質可得到。

7. 不變量性：在李卜希茲變換下，豪斯道夫維數是不變量。

三、 豪斯道夫維數的計算

例題：設F為三分康托集，如果s=log2/log3=0.6309…，那么dimHF=s。

證明：將康托集F分成左右兩個部分，分別為FL=F∩0，13和FR=F∩23，1，從中可以發現，FL和FR都和F幾何的相似，從而有F=13FL和F=13FR（近似相等，誤差忽略不計），但FL∩FR=（也就是F=FL∪FR是不交并），因此，對于所有的s，由豪斯道夫測度的比例性質h-sλF=λsh-s（F），能得到

h-s（F）=h-s（FL）+h-s（FR）=

h-s13F+h-s13F=13sh-sF+13sh-sF=213sh-sF

假設在臨界值s=dimHF時，有0

SymboleB@ （可能合理的假設），將上式兩端同時除以h-sF，得到1=213s，兩端同時取對數有s=log2/log3。所以dimHF=s。

參考文獻：

[1]肯尼思·法爾科內.分形幾何[M].沈陽：東北大學出版社，2001：45-50.

作者簡介：盛鐵軍，馮莉莉，吉林省長春市吉林師范大學數學學院。