關于一道一維波動方程定解問題求解方法總結

摘 要： 本文用兩種方法求解出了數學物理方程中一道常見的一維波動方程的定解問題的解。方法一用高等數學中的求偏導數的鏈式法則以及不定積分知識；方法二則需要Fourier變換以及逆變換和廣義函數的相關知識。

關鍵詞： 數學物理方程；波動方程；傅里葉變換；廣義函數

本文總結出數學物理方程中一道求一維波動方程定解問題解的兩種解題思路和方法，以供參考。題目：求解定解問題

2u t2 = 2u x2 ， -∞0 u t=0=cosx， u t t=0=sinx， -∞

首先，需要以下引理。

引理1 若f（x）在（-∞，∞）上滿足下列條件：①f（x）在任一有限區間上滿足Dirichlet條件；②f（x）在無限區間上（-∞，∞）上絕對可積，則有

F[f（x）]=f ∧ （λ）=∫∞-∞f（x）e-iλxdx （3）

f（x）= 1 2π ∫∞-∞f ∧ （x）eiλxdλ （4）

稱（3）右端的積分運算叫做f（x）的Fourier變換，（4）右端的積分運算叫做f ∧ （x）的Fourier逆變換。

引理2 （δ函數的篩選性質）若f（x）為無窮次可微的函數，則有

∫∞-∞δ（x）f（x）dx=f（0）

這道題的兩種解法

解法一：第一步：求一維齊次波動方程（1）的通解。

令ξ=x+t，η=x-t，由鏈式法則得

u x = u ξ u x + u η u x = u ξ + u η

2u x2 = 2u ξ2 +2 2u ξη + 2u η2 （5）

同理有

2u t2 = 2u ξ2 -2 2u ξη + 2u η2 （6）

將（5）和（6）代入（1）得

2u ξη =0 （7）

將（7）對ξ積分（固定η）得

u η =f（η），f（η）是η的任意可微函數

再將上式對η積分（固定ξ）得一維波動方程的通解

u（x，t）=∫f（η）dξ+G（ξ）=F（x-t）+G（x+t） （8）

其中F，G是任意函數。

第二步：代初值

將初值（2）代入通解（8）中得

F（x）+G（x）=cosx （9）

-F′（x）+G′（x）=sinx （10）

在（10）兩端對x積分得

-F（x）+G（x）=-cosx+C （11）

由（9）和（11）聯立可得

F（x）=cosx- C 2 ，G（x）= C 2

把上式代入（8）中可得初值問題的解為

u（x，t）=cos（x-t）

解法二：對定解問題關于x取Fourier變換，有

F[u（x，t）]=u ∧ （λ，t），F 2u x2 =-λ2u ∧ （λ，t），F 2u t2 = d2 dt2 u ∧ （λ，t）

F[cosx]=π[δ（λ+1）+δ（λ-1）]，F[sinx]=πi[δ（λ+1）-δ（λ-1）]

則原定解問題轉化為以λ為參數的常微分方程的初值問題：

d2u ∧ dt2 =-λ2u ∧ u ∧ （λ，0）=π[δ（λ+1）+δ（λ-1）]， d2u（λ，0） ∧ dt2 =πi[δ（λ+1）-δ（λ-1）]

解之可得

u ∧ （λ，t）= π λ isinλt+πcosλt δ（λ+1）+ πcosλt- π λ isinλt δ（λ-1）

對上式兩端取Fourier逆變換，且利用δ-函數的篩選性質，得原定解問題的解為

u（x，t）= 1 2π ∫∞-∞ π λ isinλt+πcosλt δ（λ+1）+ πcosλt- π λ isinλt δ（λ-1） eiλxdλ=sint eix-e-ix 2i +cost eix+e-ix 2i =sintsinx+costcosx=cos（x-t）

參考文獻：

[1]崔仁浩，等.數學物理方程[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2016.

[2]郝江浩，閆衛平.數學物理方程課程研究性教學探索[J].高等理科教育，2011，（3）：79-81.

[3]姜禮尚，陳亞浙，劉西恒，易法槐.數學物理方程講義[M].北京：高等高等教育出版社，2007.

作者簡介：

龍瓊，四川大學錦城學院通識教育學院。