軌跡方程思想的妙用

摘 要：本文選用了幾個經典例子（含2題江蘇省高考題），以此來闡述軌跡方程思想在江蘇高考數學填空題中妙用。

關鍵詞：軌跡；方程；圓；最值；參數

我們先呈現今年江蘇高考13題：

在平面直角坐標系xOy中，A（-12，0），B（0，6），點P在圓O：x2+y2=50上，若PA·PB≤20，則點P的橫坐標的取值范圍是 。

剖析：本題中動點P滿足兩個條件，分別考慮其軌跡，一為圓，另一為圓面，根據題意知它們有公共點，進而得解。

解：滿足PA·PB≤20的點P的軌跡方程為（x+12）x+（y-6）y≤20，是以圓T：（x+6）2+（y-3）2=65為邊界的圓面，又點P在圓O：x2+y2=50上，故滿足題意的點P在圖中圓T內圓的弧MN上，又xM=1，故P的橫坐標的取值范圍是[-52，1]。

由此題不禁想到08年江蘇高考13題，題中曾引起大家熱議的阿波羅蒂斯圓問題，其實也是軌跡方程思想的運用，下面我們來看：

08年江蘇高考13題：

在△ABC中，已知AB=2，AC=2BC，則S△ABC的最大值是 。

剖析：建系，求出C點軌跡，求出其到AB的最大值即可。

解：以AB中點為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，則得A（-1，0），B（1，0），設C（x，y），則由AC=

2BC得C點軌跡方程為（x-3）2+y2=8，故△ABC以AB為底時高最大為22，所以S△ABC的最大值是22。

此類題目的關鍵在于區別動點和定點，動靜結合，動定點的互化，進而得到動點滿足的關系式，得到動點的軌跡方程，從而從容的解決此類問題。此類問題又常常將動點的關系進行掩蓋，這就需要我們構造出來并建立其關系式。

例 已知圓O：x2+y2=16，點P（1，2），M、N為圓O上的不同的兩點，且滿足PM·PN=0，

若PQ=PM+PN，則|PQ|的最小值是 。

解：如圖，取MN的中點T，由PM⊥PN知PT=MT=NT，故16=OT2+MT2=OT2+PT2（注：此式中只有T為動點），所以T點的軌跡方程圓C：x-122+（y-1）2=274，又PC=52，故PT的最小值是332-52，又|PQ|=2PT，所以|PQ|的最小值是33-5。

從這里我們看到，填空題中我們要注意一些動點，考慮能否求出其軌跡，往往有奇效，最后，我們留個類似的題目：

已知點A（3，4），點P在圓C：（x-2）2+（y-1）2=1上，點Q是y軸上一點，則|AP+AQ|的最小值為

。

作者簡介：戴天竹，江蘇省蘇州實驗中學。endprint