讓高考復習從研究教材習題開始

唐明超+龔雪平

摘 要：高考注重基礎知識與基本技能的考查，強調數學思想的滲透；備考過程要回歸教材、研究教材，提煉數學思想和基本方法，立足基礎，適當拓展；本文以函數與導數為例，探究復習從課本抓起的具體做法和有效性。

關鍵詞：高考復習；回歸教材；母題拓展

一、 從教材中尋找高考母題

真題1 （2015·全國卷Ⅱ）設函數f（x）=1+log2（2-x），x<1

2x-1，x≥1則f（-2）+f（log212）= 。

母題1 （新人教A版必修1 P45B組T4）

已知函數f（x）=x（x+4），x≥0x（x-4），x<0求f（1），f（-3），f（a+1）。

真題2 （2014·全國卷Ⅱ）已知偶函數f（x）在[0，+∞）上單調遞減，f（2）=0，若f（x-1）>0，則x的取值范圍是 。

母題2 （新人教A版必修1 P39B組T3）已知函數

f（x）是偶函數，而且在（0，+

SymboleB@ ）上是減函數，判斷f（x）在（- SymboleB@ ，0）上是增函數還是減函數，并證明你的判斷。

真題3 （2015·全國卷Ⅰ） 若函數f（x）=xln（x+a+x2） 為偶函數，則a= 。

母題3 （新人教A版必修1P83B組T3）對于函數

f（x）=a-22x+1（a∈R）。

（1）探索函數f（x）的單調性；

（2）是否存在實數a使函數f（x）為奇函數？

真題4 （2014·全國卷Ⅱ）設曲線y=ax-ln（x+1）在點（0，0）處的切線方程為y=2x，則a= 。

母題4 （新人教A版選修2-2P18A組T6）已知函數y=xlnx。

（1）求這個函數的導數；

（2）求這個函數圖像在點x=1處的切線方程。

二、 高考題與教材母題對比分析

真題1 考查分段函數的概念與性質，結合指數函數與對數函數，考查學生的計算能力，難度不大，直接代入相應解析式求解，結果為9。

母題1 課本復習B組題，考查學生對分段函數概念的理解，要求能夠求出具體函數值，會用分類討論的思想解決含參數問題。

真題2 考查對函數性質的理解，主要體現在函數的奇偶性，單調性；強調一題多解。

解法1 因為f（x）為偶函數，所以f（-x）=f（x）=f（|x|）；

故不等式f（x-1）>0可化為f（|x-1|）>0；因為f（x）在[0，+∞）上單調遞減，且f（2）=0，故|x-1|<2，得-1

解法2：因為f（x）為偶函數，且f（2）=0，所以f（-2）=0，作出大致圖像可知取值范圍是（-1，3）。（圖略）

母題2 該題考查學生對函數奇偶性與單調性的準確理解。

真題3 類比母題2，主要考查函數奇偶性和對數的運算法則。

母題3 該題考查如何用定義法證明函數單調性，同時考查學生對函數奇偶性的靈活運用。

真題4 該題考查導數的幾何意義及切線方程的求解方法。

母題4 該題考查導數的計算，幾何意義的理解和運用。

三、 高考復習中教材習題的拓展舉例

母題1 （新人教A版必修1 P25B組T3）

函數f（x）=[x]的函數值表示不超過x的最大整數；例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2；當x∈（-2.5，3]時，寫出函數解析式，并作出函數圖像。

拓展1 已知函數f（x）=x-[x]，其中[x]表示不超過實數x的最大整數。若關于x的方程f（x）=kx+k有三個不同的實根，則實數k的取值范圍是 。

拓展意圖：在能夠解決課本習題的基礎之上，引導學生歸納處理同類問題的基本方法，沿著母題的設計思路將題目適當地拓展與延伸，目的在于突出數形結合思想的應用。通過引導學生作出圖像，利用幾何直觀，不難得出直線f（x）=kx+k過定點（-1，0），從而結合圖像不難得出答案

-1，-12∪14，13。

拓展2 對于任意實數x，[x]是不超過x的最大整數。那么[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+…+

[log21024]= 。

拓展意圖：考查函數的求值問題時，對數運算對于基礎較薄弱的同學來說是一個難點，不妨借此機會綜合對數運算和數列求和來考查學生的轉化與化歸能力。易知

[log21]=0，

[log22]=[log23]=1，[log24]=…=[log27]=2，

[log28]=…=[log215]=3，

[log216]=…=[log231]=4…[log21023]=9，

[log21024]=10，則原式=1×2+2×22+3×22+4×24+…+9×29+10，用“錯位相減法”可以求出結果8204。

拓展3 設f（x）=[x·[x]]，x∈[1，3].則f（x）的值域為 。

改編意圖：借取整函數，幫助學生再次理解函數的概念，鞏固與提升學生的抽象能力和邏輯推理能力.解得x∈[1，3]時，f（x）的值域為{1，4，5，9}

母題2 （新人教A版必修1 P44A組T8）設

f（x）=1+x21-x2，求證：（1）f（-x）=f（x）；（2）f1x=-f（x）。

拓展4 設在R上的函數f（x）滿足：f（tanx）=1cos2x，則

f（2）+f（3）+…+f（2012）+f12+f13+…+f12012= 。

拓展5 函數f（x）對于任意實數x滿足條件f（x+2）=1f（x），若f（1）=-5，則f（f（5））= 。

拓展6 若奇函數f（x）（x∈R）滿足f（2）=1，f（x+2）=f（x）+f（2），則f（5）= 。

拓展7 偶函數f（x）與奇函數g（x）滿足f（x）+g（x）=1x-1，則f（x）= 。

拓展意圖：由母題2的證明過程得到啟發，可以巧妙地利用這一性質特點適當拓展母題得到新題，考查求值，從而得到拓展1，這既總結了處理課本習題的基本思路和方法，也實現了對基礎知識的拓展和提升，鍛煉了學生的思維，開拓了學生的視野.基于歷年對函數奇偶性這一知識的考查，側重點均在于利用性質解決抽象函數的相關問題，為了幫助學生更能適應高考，借助常見模型給予改編，從而得到拓展2，3，4；以期培養學生善于觀察比較，靈活變通的思維能力，打破思維定勢，通過拓展，幫助學生體會高考題的命題思想，逐漸掌握命題規律。

母題3 （新課標人教A版必修1 P83B組T4）設

h（x）=ex-e-x2，求證：

（1）[g（x）]2-[f（x）]2=1；

（2）f（2x）=2f（x）·g（x）；

（3）g（2x）=[g（x）]2+[f（x）]2。

拓展8 設f（x）=ex-e-x2，

g（x）=ex+e-x2，給出如下結論：①對任意x∈R，有[g（x）]2-[f（x）]2=1；②存在實數

x0，使得f（2x0）>2f（x0）g（x0）；③不存在實數x0使得g（2x0）<[g（x0）]2+[f（x）]2；④對任意x∈R，有f（-x）g（-x）+f（x）g（x）=0；

其中所有正確結論的序號是（ ）

拓展9 已知函數F（x）=ex滿足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分別是R上的偶函數和奇函數，若x∈[1，2]使得不等式g

（2x）-ah（x）≥0恒成立，則實數a的取值范圍是 。

解析：由F（x）=g（x）+h（x）=ex得F（-x）=g（-x）+h（-x）=e-x；從而解得g（x）=ex+e-x2，h（x）=ex-e-x2；

由g（2x）-ah（x）≥0得e2x+e-2x2-aex-e-x2≥0。參數分離得a≤ex-e-x+2ex-e-x，當且僅當

ex-e-x=2時取“=”滿足[1，2]，故a≤22。

拓展意圖：如果將結論作為備選條件，就可以改編成客觀題，此時題目的難度將會有所降低，靈活性將會增強，學生更容易下手，從而得到拓展1；保證題設不變，巧妙構造函數，設計不等式恒成立問題，培養學生構造函數的能力，利用分離參數法解決不等式恒成立問題得到拓展2。

真題探源，尋找真題與母題的相似性和改編規律；再結合平時教學過程中常見到的設問技巧和方法，嘗試將教材上一些比較典型的題目加以改造，得到一些課本改編題，都是同樣的知識和理論方法，稍微改變設問方式，題目的表現形式卻大有不同，這樣做一方面可以鞏固學生已有知識經驗，另一方面可以加深學生對已有知識和基本方法的理解與掌握，注重課堂生成，總結一般規律，跳出題海，引導學生真正感受一題多變，多題一解的基本規律，有助于鍛煉學生的思維能力，提升學生的解題技巧和解題效率，減輕學生的學習負擔；當然，對于培養數學核心素養也是功不可沒。

參考文獻：

[1]普通高中課程標準實驗教科書數學必修1[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-2[M].北京：人民教育出版社，2007.

作者簡介：唐明超，龔雪平，云南省昆明市云南師范大學。endprint