“K”—型圖相似三角形在二次函數中的應用

摘 要： 三角形和二次函數兩塊內容的綜合是初中數學最突出的綜合內容。本文通過確定直角三角形在直角坐標系中的位置、特征，介紹題型，剖析解法，對“K”-型圖相似三角形在二次函數中的應用進行了分析和總結。

關鍵詞： “K”-型圖；相似三角形；二次函數

直角三角形的有關知識是初中平面幾何中的重點內容，而二次函數則是初中代數中的重點，這兩塊內容的綜合是初中數學最突出的綜合內容。近年來，這類綜合問題是中考數學試卷的壓軸題，如何挖掘幾何條件，并將其轉化為代數條件，是解題的難點和關鍵。以下是筆者多年教學過程中對“K”-型圖相似三角形在二次函數中應用的總結，希望有助于中考復習。

一、 “K”-型模型圖

“K”-型圖是具有“K”字形狀的圖像，一條直線的同側的兩條直線互相垂直。如下圖：

在數學問題的解決過程中，有意識提煉一些典型的數學模型可以有效提高解題速度，化繁為簡，提高準確率。“K”-型圖是平面幾何中比較常見的一種圖形，最早出現在全等三角形中，如果能在初始接觸時就加以有意識訓練強化“等角的余角相等”這一性質，再在后來的相似中熟練運用，并有目的地強調角、邊關系，就能準確寫出比例關系，為最后階段的解決二次函數中的有關問題夯實基礎。

1. 若∠APC=90°，求證兩個直角三角形的兩條直角邊對應成比例。

證明：如圖示（1），

∠1+∠2=90°，

∠3+∠2=90°，

∴∠1=∠3。

在Rt△ABP和Rt△PDC中，

tan∠1=tan∠3，

即 AB BP = PD CD 。

圖（2）（3）中，同理∠1=∠2，

∴tan∠1=tan∠2，

即 AB BP = PD CD 。

2. 判定∠APC=90°

圖（1）中已知 AB BP = PD CD ，求證∠APC=90°。

在Rt△ABP和Rt△PDC中，

∵ AB BP = PD CD ，

即tan∠1=tan∠3，

∴∠1=∠3。

又∠3+∠2=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠APC=90°。

二、 “K”-型圖在二次函數中的應用

最近幾年，全國各地中考數學試卷的二次函數壓軸題中頻繁出現判斷三角形形狀（直角三角形）和求構成直角三角形動點的坐標。此類問題綜合性強，且帶有一定的難度，通常的方法是利用勾股定理三邊關系求解，而初中階段直角坐標系中，學生還沒有學習兩點間距離，用學生已有知識也可以給出方法，但過程較長。因此更多老師就直接給出高中知識的兩點間距離公式，讓學生死記硬背，算出或表示出三角形三邊的長度，此方法運算量很大，稍有不慎會算出錯誤答案。甚至有更復雜的方法，在這里就不一一贅述。其實在實際解題時，若能把握問題的關鍵，排除圖形干擾，在復雜的圖形中構造出“K”-型圖，就可以化難為易，快速解題。

1. 二次函數圖像中判定直角三角形

（1）已知：直線AB與二次函數y= 1 4 x2的圖形交于 A（-2，1），B（8，16）兩點。求證：△AOB為直角三角形。

分析： 分別向x軸引垂線構造“K”-型圖，有目的計算一對角的正切值。

證明： 分別過點A，B作AC⊥x軸，BD⊥x軸，垂足分別為C，D，

在Rt△AOC和Rt△OBD中，

AC=1，OC=2，OD=8，BD=16，

∴ AC OC = OD BD = 1 2 ，

即tan∠AOC=tan∠OBD，

∴∠AOC=∠OBD。

又∠OBD+∠BOD=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

∴∠AOB=90°，

即△AOB為直角三角形。

（2）如圖所示，已知二次函數經過點B（3，0），C（0，3），D（1，4），連接DC，BC，DB，求證：△BCD是直角三角形。

分析： 向y軸引垂線構造“K”-型圖。

證明： 過點D作DE⊥y軸，垂足為E，

在Rt△DEC和Rt△COB中，

DE=1，CE=1，OC=3，OB=3，

∴∠DCE=∠BCO=45°，

∴∠DCE+∠BCO=90°，

∴∠DCB=90°，

∴△BCD是直角三角形。

2. 求構成直角三角形動點的坐標

（1）已知如圖示拋物線y=- 1 2 x2圖像，將一把直角三角板的直角頂點置于平面直角坐標系的原點O，兩直角邊與該拋物線交于A，B兩點，過B作BF⊥x軸于點F，測得OF=1，寫出此時點B和A的坐標。

分析： 向x軸引垂線構造“K”-型圖。

解： 過A點做AE⊥x軸，垂足為E，

∵B點橫坐標是1，

∴B 1，- 1 2 。

設A x，- 1 2 x2 ，

則OF=1，FB= 1 2 ，OE=-x，AE= 1 2 x2。

∵∠AOB=90°，

∴∠FOB=∠EAO，

∴tan∠FOB=tan∠EAO，

∴ BF OF = OE AE ，

即 1 2 1 = -x 1 2 x2 ， 1 4 x2+x=0，

解得x1=0（舍去），x2=-4，

∴A（-4，-8）。

（2）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，直線y=kx+n（k≠0）經過B，C兩點，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5。endprint

①求拋物線解析式；

②在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得B，C，P三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出點P坐標；若不存在，請說明理由。

分析： 直角頂點在坐標軸上的向坐標軸引垂線，構造“K”-型圖，直角頂點不在坐標軸上，過直角頂點做坐標軸平行線，再向平行線引垂線構造“K”-型圖。

解： ①∵BC=5，OC=3，

∴OB=4，

∴B（4，0），

y=a（x-1）（x-4），經過C（0，3），

4a=3，

a= 3 4 ，

∴拋物線解析式為y = 3 4 （x-1）（x-4）

= 3 4 x2- 15 4 x+3，

對稱軸x= 5 2 ；

②存在。

設P 5 2 ，y

ⅰ）以C為直角頂點，過點C作CP⊥CB交對稱軸于P1，即當∠P1CB=90°時，過點P1作P1D⊥y軸，垂足為D。如圖所示：

在Rt△P1DC和Rt△COB中，

∠DCP1=∠CBO，

∴tan∠DCP1=tan∠CBO，

即 5 2 y-3 = 3 4 ，y= 19 3 ，∴P1 5 2 ， 19 3

ⅱ）以B為直角頂點，過點B作BP⊥CB交對稱軸于P2，即當∠P2BC=90°時，過點B作MN∥y軸，分別過P2，C向MN引垂線，如圖所示：

同理∠1=∠2，

tan∠1=tan∠2，

即 3 4 = 3 2 -y ，y=-2，∴P2 5 2 ，-2

ⅲ）當P為直角頂點，即∠CP3B=90°時，過P3作P3E∥x軸，交y軸于E、交MN于Q。如圖所示：

∴∠3=∠4，

tan∠3=tan∠4，

即 y-3 5 2 = 3 2 y ，4y2-12y-15=0，y1= 3+2 6 2 ，y2= 3-2 6 2 ，

∴P3 5 2 ， 3+2 6 2 ，P4 5 2 ， 3-2 6 2 ，

∴P1 5 2 ， 19 3 ，P2 5 2 ，-2 ，P3 5 2 ， 3+2 6 2 ，P4 5 2 ， 3-2 6 2 。

通過以上例題分析，遇到此類問題，我們只需寫出或表示出“K”-型圖里與坐標軸平行的兩個直角三角形直角邊的長度（注意不需要斜邊），有目的的算出一對對應銳角的正切值，從而判斷角的關系及三角形的形狀；或者利用等角的正切值相等列出比例關系，算出動點坐標。此方法步驟簡單，學生容易掌握，更重要的是可以增加學生學習二次函數的自信心。

需要強調的是，此方法中一直沿用對應角的正切值，而非相似三角形對應邊成比例，是因為：

（1）正切值固定于三角形兩條直角邊，直角邊都平行于坐標軸，計算和表示都非常簡單，可以一眼看出結果或表達式。

（2）等角的正切固定于兩個直角三角形中對應角的 對邊 鄰邊 ，以免學生常常把對應邊混淆出錯。

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作者簡介：

閆嵐子，高級教師，西藏自治區拉薩市，西藏拉薩江蘇中學。endprint