基于TracePro軟件的光度學基本定律教學演示

康學亮+盛洪江+劉凡齊+吳國強+馬源澤

摘 要 光度學是研究由電磁輻射能所引起的人眼刺激大小的一門科學。在光電檢測以及照明光學中，了解光源輻射光的光度學量在傳輸過程所遵循的規律是極其必要的。作為相關課程中的重難點，這部分內容的教學一直備受教師和學生的關注。TracePro軟件基界面友好，易于實現光學系統的照度、光強分析，非常適合在教學中演示光度學的基本定律。首先列出光度學中三個基本定律的推導過程，然后詳細探討在TracePro軟件中如何對這三個基本定律進行教學演示，以期讓學生對較為復雜、抽象的光度學概念和定律產生直觀的認識，理解得更加深刻。

關鍵詞 TracePro軟件；光度學；余弦定律；亮度守恒

中圖分類號：G642 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2017）22-0050-06

Teaching Demonstration of Fundamental Law in Photometry based on TracePro Software//KANG Xueliang， SHENG Hong-jiang， LIU fanqi， WU Guoqiang， MA Yuanze

Abstract Photometry is a science which studies the stimulation of

human eyes caused by electromagnetic radiation. In courses such as

photoelectric detection and illumination， it is extremely necessary to

understand the photometry law of radiation followed in the trans-

mission process. As the most important and difficult part of related

courses， the teaching of this part has been paid much attention by teachers and students. TracePro software is very suitable for the tea-ching demonstration of basic law because of friendly interface and convenience in analyzing illumination and light intensity of optical system. In order to let the students have intuitive understanding of

the complex and abstract concepts and understand the law of photo-metry more profoundly， this paper gives a derivation of three funda-mental laws in photometry firstly， and then discusses in detail how

to carry out teaching demonstration of the three basic laws in Trace-Pro software.

Key words TracePro software； photometry； cosine law； brightness conservation

1 引言

在光學相關課程教學中，光源及其輻射特性占有重要位置。光源所輻射的可見光，為特定頻段的電磁波，對其度量既可以用描述電磁輻射的物理量來度量，也可以用光度學量來度量。在物理中，共有七個定律來描述光源的輻射特性及其輻射的傳輸特性。

斯特藩-玻爾茲曼定律，又稱斯特藩定律，其內容為一個黑體單位表面積在單位時間內輻射出的總能量（即物體的輻出度）與該黑體的熱力學溫度的四次方成正比。它描述了一個黑體所輻射的各種波長的電磁波能量總和與溫度的關系。

維恩位移定律則表明黑體單色輻出度的峰值相對應的波長與其熱力學溫度成反比，說明黑體溫度對其所輻射電磁波的頻譜分布的影響。

普朗克定律為熱輻射最基本的定律，它囊括了斯特藩-玻爾茲曼定律和維恩位移定律，精確給出黑體的單色輻出度與其溫度和輻射波長之間的關系。

基爾霍夫輻射定律指的是在同樣溫度下，所有物體在某個波長處的單色輻出度與其單色吸收率之比值都相等，并等于該溫度下黑體在該波長處的單色輻射出射度（因為黑體的單色吸收率恒為1）。該定律道出一般物體的輻射與黑體輻射之間的聯系。

以上四個定律完整地描述出熱輻射的理論框架，為光源發光特性的度量奠定理論基礎[1]。

在光電探測或者照明光學中，往往需要明確知曉光源輻射光的各種光度學量在光束傳輸過程中所遵循的一些基本規律，它們就是光度學的三個基本定律：余弦定律、亮度守恒定律、照度與距離的二次方反比定律。實際上在評價成像光學系統最終的成像質量中也常常涉及該問題[2-4]。

然而，光度學的這三個定律并不直觀，相關內容的教學難度較大，讓學生形成更為直觀的認識需要采取合適的教學方法。TracePro軟件基于Monte Carlo算法，可以進行大規模的非序列光線追跡，易于實現照度分析、光強分析，是國內照明設計領域應用最為廣泛的光學軟件；更為特別的是，其界面友好直觀，操作簡便快捷，不會過多地將學者的精力耗費在軟件操作上，非常適合在教學中演示光度學的基本定律[5-6]。本文將詳細探討在TracePro軟件中如何對光度學的三個基本定律進行教學演示。endprint

2 余弦定律及其教學演示

余弦定律指出，光源在任意表面上的照度與該表面法線和輻射能傳播方向之間夾角的余弦成正比。如圖1所示，點光源O發出的光在立體角元dΩ內具有光通量dΦv，在與輻射能傳播方向垂直的面元dA上的照度為E，而在與dA夾角為θ的面元dA′上的照度為E′，則根據照度的定義，有E=dΩv /dA和E′=dΩv/dA′。而dA=dA′cosθ，因而有E′=Ecosθ，此即為余弦定律。

為在TracePro軟件中對余弦定律進行教學演示，先設置一光通量為1 lm（本文中波長均為546.1 nm，故光源功率約為1.5 mW）、半徑為2 mm的均勻發光圓形格點光源，其半發散角為0°（即出射光為平行光）；如圖2（a）所示，在其輻射方向上10 mm遠處放置一探測面，并讓該探測面垂直于光源的輻射方向（圖中z方向），測得其照度分布由圖3（a）給出，可見其照度均勻且恒為122 W/m2，與理論值符合。現將探測面繞x軸旋轉60°，如圖2（b）所示，測得其上照度分布見圖3（b），探測面上光斑為橢圓，其照度仍然保持均勻，但照度值降為60 W/m2，約為圖3（a）中照度值122 W/m2的cos60°=0.5倍。余弦定律得到驗證。

在有些場合，余弦定律指的是另一種含義：一般的漫射表面，包括磨砂玻璃等漫透射表面和涂有氧化鎂或者硫酸鋇的漫反射表面等，經光照射后，所產生的光輻射在各方向上的發光強度隨方向角θ的余弦而變化。如圖4所示，有Iθ=I0cosθ，其中I0為發光表面在法向的光強，這也被稱為余弦定律。發光特性符合這種分布的光源或者輻射體被稱為朗伯光源或者余弦輻射體。

為在TracePro軟件中演示該光源的發光特性，同樣設置一光通量為1 lm、半徑為10 mm的均勻發光圓形格點光源，其半發散角為0°。如圖5所示，在其輻射方向上5 mm

遠處放置一反射率為99%的漫反射表面，在光源輻射的反方向上距光源10 mm處設置一探測面，漫反射表面和探測面均垂直于光源的輻射方向（圖中z方向），測得光源輻射光經漫反射表面反射后在探測面上形成的照度分布見圖6（a），其照度在中心區域大，在邊緣逐漸減小。

然后將圖5中的光源移除，并將漫反射表面替換為一光通量為1 lm、半徑為10 mm、半發散角為90°的朗伯型圓形格點光源，進行光線追跡后得其在探測面上形成的照度分布見圖6（b）。可見其照度分布與圖6（a）完全相似，只是在具體數值稍大于前者，這與漫反射面的反射率只有99%有關。由此可見，漫反射面被照明后其發光強度的確符合余弦定律：Iθ=I0cosθ。

3 亮度守恒定律及其教學演示

圖7所示為當光束在同一種介質中傳播時，沿其傳輸路徑任取兩個面元dA1和dA2，并使通過面元dA1的光束也都通過面元dA2，兩個面元之間的距離為d，面元法向與光傳播方向之間的夾角分別為θ1和θ2。則面元dA1的亮度為：

而面元dA2的亮度為：

其中dΩ1為面元dA1所輻射光線的立體角，由圖7易知它同時也是面元dA2對面元dA1中心所張立體角，故有：

同理，有：

將dΩ1和dΩ2代入L1和L2的表達式，即得L1=L2，表示光束傳輸無能量損失時，所經任一表面亮度相同，即亮度守恒。

在TracePro軟件中，亮度分布的獲得較為復雜，但可以通過照度分布間接求得亮度分布。設置一光通量為1 lm、

半徑為0.01 mm的均勻發光圓形格點光源（近似為點光源），其半發散角為1°，在其法向上10 mm、20 mm處各插入一探測面，分別記為探測面1和2，兩探測面均垂直于格點光源的法向，光線追跡后得兩個探測面上的照度分布分別如圖8（a）和（b）所示。由圖可見，探測面1和2上的照明區域半徑分別為0.175 mm和0.345 mm，即探測面2上的光束面積約為探測面1的4倍，而不難算得，光束立體角剛好減小為1/4。這就間接證明了光束傳播過程中亮度是守恒的。

4 照度與距離的二次方反比定律及其教學演示

點光源發光時，在其傳播方向上某點處的照度與該點到點光源距離的二次方成反比。這是因為若光在傳輸路徑上無損失，則點光源在任一錐形立體角dΩ內的輻射通量是不變的；同時，由該錐形立體角所截取的球面部分的表面積與球半徑的二次方成正比。如圖9所示，根據照度定義，在R處，照度：

在R′處，照度：

為對該定律進行教學演示，在TracePro軟件中，同樣設置一光通量為1 lm、半徑為0.01 mm的均勻發光圓形格點光源（近似為點光源），其半發散角為10°，分別在其法向10 mm、20 mm遠處設置探測面。如圖10所示，兩探測面均垂直于格點光源的法向，光線追跡后，兩個面上的照度分布分別由圖11（a）和（b）給出。由圖可見，10 mm處探測面中心照度為162 W/m2，約為20 mm處照明面中心照度40 W/m2

的4倍。這就證實了光束在傳播過程中的確遵循照度與距離的二次方反比定律。

5 總結

本文利用TracePro軟件，對光度學量在光束的傳輸過程中所遵循的三個基本規律即余弦定律、亮度守恒定律、照度與距離的二次方反比定律進行教學演示，包括理論推導、光學系統的設計和光線追跡結果的分析。在教學實踐中發現，借助TracePro軟件對這三個基本定律進行教學演示，確實能夠幫助學生獲得更為直觀的物理圖像，可以增強學生對光度學量的感性認知，加深對抽象光學理論的理解，增強教學效果。

參考文獻

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