泰勒公式及其在工程實踐中的應用

摘 要：在高等數學中，泰勒公式是一個非常重要的內容。除了作為理論工具以外，泰勒公式可以將復雜的函數近似地表達為簡單的多項式函數，這種化繁為簡的功能也使它成為了研究眾多數學問題的橋梁紐帶，在實際的工程實踐中進行數值計算，以服務并指導生產實踐。本文以泰勒公式在微生物生長曲線規律中的應用和泰勒公式在農田排水溝管間距計算中的應用為例，作研究分析。

關鍵詞：泰勒公式；逼近；近似；MATLAB

一、 綜述

目前國內外對泰勒公式的理論基礎研究已經非常成熟。除了作為理論工具以外，泰勒公式可以將復雜的函數近似地表達為簡單的多項式函數，泰勒公式的引入可以大大降低問題的復雜程度，在實際的工程實踐中進行數值計算，以服務并指導生產實踐。

二、 泰勒公式在廢水中微生物生長規律的研究中的應用

微生物在廢水生物處理系統中起主導作用，微生物的生長曲線能夠很好地描述廢水中所含的微生物數量以及各自在不同的生長階段的生長情況。利用計算機模擬微生物生長曲線，將有利于對不同環境下微生物的生長規律進行預測，為廢水微生物處理工藝的改進提供參考。

（一） 微生物生長曲線方程

微生物的凈增殖需要考慮到細胞合成與細胞內部代謝同步進行，即微生物的凈增殖應該由細胞的增殖和細胞的消亡合并而成。得到微生物的凈增殖速率為：

在應用中，通常通過對式（6）和（9）的聯合迭代即可得到模擬微生物生長的基本情況。

（三） 數值實驗

選擇條件是在厭氧間隙曝氣條件下微生物的增長系數Y=0.200，微生物衰減系數Kd=0.055d-1，飽和常數Ks=38.3 mg/L，微生物最大相對增長速度K=3.12d-1。采用某地生活污水提取的大腸桿菌作為微生物菌種進行模擬實驗，若微生物的初始濃度為30 mg/L，有機物的初始濃度為350 mg/L。將這些數據代入式（6）和式（9），并且分別取值t=0，5，10，…，50，得到對應的X值，近似為表1所示：

利用三次樣條插值的方法在MATLAB上可以得到插值函數的圖像，即可以反映微生物濃度隨時間變化的直觀變化趨勢。利用得到的數組進行三次樣條插值，得到微生物濃度X隨時間t變化的近似圖像，如圖1所示：

從得到的微生物濃度隨時間變化的圖像，在給定某時間段或具體的時刻下，就可以從圖像上直接觀測到具體微生物濃度。

（四） 微生物生長規律的預測及結論

根據得到的微生物生長曲線圖像，可以預測微生物在某個時間段內或在具體的時刻下微生物的生長濃度。另外根據微生物的變化曲線判斷生長變化率的增減性，進而得出環境對微生物生長的影響程度，以至通過控制環境的變化來影響微生物生長，為實際的生產實踐和環境治理工作提供一定的參考。

三、 泰勒公式在農田排水溝（管）間距的計算中的應用

（一） 研究背景及潛水蒸發計算公式

根據水量平衡原理，建立考慮蒸發影響的地下水位下降的表達式，通過對設定的潛水下降速度函數V，采用泰勒公式展開，可以取展開式的前幾項作為計算公式。

（二） 蒸發影響下的農田排水溝（管）計算方法

（三） 數值實驗

對特定案例代入得出具體的計算結果，而在文獻中有實際數值，通過相互比較驗證公式的精確性。案例為：某排水地段，采用埋深hq=2.5 m，直徑d=0.1 m的暗管排水，其設備處在輕壤土區域，有關參數為：E0=0.01 m/d，土壤滲透系數k=1.0 m/d，給水度δ=0.05，土壤參數a=1.4，b=10.6。計算得出兩排水區暗管之間的間距，分別如下表2和表3所示。

得到的結果為L=107.6 m，而文獻中數據為L=108.16 m，即在對指數型變化關系用泰勒展開作近似時，如果取展開式的前三項在實際應用中只存在0.6%的誤差。

由表得知，取展開式的前四項的計算結果為L=108.19 m，而文獻中的數據為L=108.16 m，誤差為0.03%。另外考慮取展開式的前三項形式更簡單，誤差也僅僅為0.6%，因此在進行排水規劃階段計算排水溝（管）時尚能滿足要求。

（四） 結論

在蒸發影響下的農田排水溝管間距的計算時，首先得到土壤參數等基礎數據，通過上述的取泰勒公式的前三項得到的近似計算公式來近似得到排水溝管的間距，且誤差比較小。

四、 總結與展望

在工程實踐中泰勒公式有著眾多應用，往往作為工具和指導實踐的作用。本文主要討論泰勒公式在微生物生長曲線規律研究中的應用和在農田排水溝管間距計算中的應用。

盡管泰勒公式在基礎理論研究中非常完善，但在實際工程實踐中仍有很大的研究空間。應該靈活地應用到實際工程實踐中，從不同角度找出實際工程實踐和泰勒公式的聯系，指導解決更多工程實際問題。

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作者簡介：李志民，陜西省西安市，長安大學。endprint