轉化思維方式巧求陰影面積

摘 要：求幾何圖形的陰影部分面積是中考中比較常見的題型，本文通過舉例闡述了幾種比較新穎的求陰影圖形面積的方法，通過對復雜圖形進行簡單轉化，使得復雜問題簡單化，學生在面對此類問題時可以從容面對，問題自然迎刃而解。

關鍵詞：陰影面積；割補法；和差法

一、 割補法求陰影圖形面積

割補法是計算陰影圖形面積的重要方法，通過割補法求陰影圖形面積在中考中出現的頻率很高。割補法是將原本不規則的圖形通過“割”或“補”轉化為常見的圖形，通過面積公式求解轉化之后的圖形，從而得到陰影部分的面積。

例1 如圖所示是一個玩具的橫截面圖，玩具截面的邊長如圖所示，請求出玩具的橫截面積（即陰影部分的面積）。

分析：本題中陰影部分的面積不是規則圖形，不能通過面積公式得出圖形的面積，所以通過常規方法無法直接求解。可以將圖形進行轉化，將圖形“補”為常見的圖形，然后再減去多余的面積，即是所求的陰影部分面積。

解：如圖所示，添加輔助線，構造成一個完整的矩形。已知矩形的長和寬，可以求得矩形的面積S=15×10=150（平方厘米），空白部分由一個正方形和兩個全等的等腰直角三角形構成，那么空白部分的面積S1=5×5+5×5×12×2=50（平方厘米），因此陰影部分的面積S2=S-S1=150-50=100（平方厘米），所以陰影部分的面積為100平方厘米。

評注：本題通過將不規則圖形進行添補，轉化為規則圖形，用到了轉化的數學思想。對于這類問題的解決，應該勇于打破常規思路，通過割補法將問題進行轉化。這類問題的解決有利于提高學生的數學思維能力，在平時的學習中應該多加練習。

二、 和差法求陰影圖形面積

和差法在中學數學求面積的過程中是非常普遍的，在解題過程中，我們可以將圖形從不同角度拆分成幾個已知圖形，然后通過將幾個已知圖形進行加與減，轉換之后即可得到未知的不規則圖形面積。

例2 如圖所示，以1為半徑畫扇形AOB，以AB中點為原點、AB為直徑得如圖所示的半圓，那么圖中陰影部分的面積為（ ）

分析：由圖可知，此題陰影部分是一個不規則圖形，如果我們用常規解法并不能直接求出，因此我們需要將圖像轉化為已知圖形進行求解。我們可以通過已知公式得出扇形AOB的面積和半圓面積，也可以求出等腰直角三角形AOB的面積，則S半圓+S△AOB-S扇形AOB即可得出陰影部分的面積。

評注：本題我們無法用常規方法求得陰影部分的面積，通過和差法將已知圖形面積相加求得總面積然后減去已知圖形面積即得到了陰影部分的面積，同學們如果再遇到類似題目可以根據此方法進行求解，就可以很容易的得到未知部分面積。

三、 巧用“特殊關系”圖形求面積

“特殊關系”解題法是一種比較靈活的思維方法，此類方法要求學生學會變通，通過將復雜圖形進行平移或者折疊轉化為已知圖形，從而求得問題的答案。此方法要求學生充分發揮自己的想象力，從而達到復雜問題簡單化的效果。

例3 如圖所示，半圓A與半圓B均與y軸相切且有一個共同的切點O，兩半圓的直徑CD與EF且均和x軸垂直，兩條拋物線均以O為頂點且分別經過點C和點E、點D和點F，試著求出圖中陰影部分的面積。

分析：本題看到第一眼時會感到比較混亂，圖形面積毫無規則，無法用已知圖形面積進行求解，仔細觀察后會發現，右面陰影部分的圖形和左邊空白部分圖形是相互重合的，且可以和左邊陰影部分組合成一個半圓。

解：由題意可知，將右面的半圓沿著縱坐標折疊到左邊后，題目中的陰影部分的總面積正好為一個半圓的面積。因為左、右兩個半圓的半徑均為1，所以，S陰影=12π。

評注：學生在第一眼看到這類題目時可能會感到眼花繚亂，感覺無從下手，但是通過同學們靜下心來細細分析各部分圖形之間的關聯以后就可以有比較清晰的解題思路。因此，以后遇到類似的貌似很麻煩的題目時，靜下心來細細分析以后就可以找到正確的解題方法。

綜上所述，割補法、和差法、“特殊關系”法可以將看似復雜的問題簡單化，從而使得復雜問題迎刃而解，學生對于這類問題應多加練習，從而提高自己轉化思維能力。

參考文獻：

[1]劉玉琪.陰影面積的幾種求解方法[J].甘肅高師學報，2006（02）.

[2]陳怡.探析求陰影面積的方法[J].中學生數學，2009（24）.

作者簡介：黃紹杰，云南省文山州硯山縣民族中學。endprint