從“經歷”走向“經驗”以“經驗”促進“生長”

摘要：“雞兔同籠”是一類問題的總稱，用哪種方法教，哪種方法更易讓學生接受，這要根據學生的年齡特征來判斷。“雞兔同籠”的教學要重視向學生滲透數學思想方法，關注學生的學習過程，它不能僅僅停留在知識的層面，它在培養學生發散性思維以及化歸、枚舉、數形結合、假設、建模等數學思想方法，還有關注孩子思維成長方面具有較高的研究價值。而這些數學思想方法對不同年級的學生來說，會產生不一樣的選擇傾向。教學中要讓學生在充分感知的基礎上，通過觀察、思考、發現、比較，應用畫圖、列表、假設、方程等方法來解決，揭示感性經驗背后理性抽象的數學經驗，讓學生獲取具有概括性、普遍性的數學知識，實現從感性到理性的轉變。

關鍵詞：經歷；經驗；生長；不同學段

一、 理論篇

“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這是我國古代數學名著《孫子算經》中的一道趣題。“雞兔同籠”教學要讓學生經歷自主探究問題解決的過程，培養邏輯推理能力，增強應用意識和實踐能力。就解題的角度來說，有一系列的方法：畫圖法、列表法、假設法、方程法、二元一次方程組等。這個問題的多種解法中，同時對應著一定的數學思想。比如，列表與枚舉，畫圖與數形結合等。學生在運用多種解法解決問題的同時，對數學思想會有一定的感悟?？梢哉f，“雞兔同籠”教學內容和教學中可挖掘的資源非常豐富，是學生積累數學基本活動經驗和滲透數學思想方法的典型的課。它的教學價值追求不應局限于問題本身，而在于其學習價值的實現。

但，僅用一個課時教學，教與學都容易“囫圇吞棗”。更何況基本活動經驗和數學思想方法的形成需要一個長期的過程，教師要提供不斷地組織學生參與的數學探究過程，只有學生參與了多樣化的數學活動，經歷多次調用和加工后才能逐漸達到理性的感悟。由于各版本教材編排的學段、價值取向和教材解讀定位不同，許多教師不知道如何定位雞兔同籠問題，如北師大版教材安排在五年級上冊，重點在列表法，人教版教材安排在四年級下冊，重點是假設法。那么，是否可將解法的難易度與學生的可接受水平結合起來考慮？就雞兔同籠問題在低、中、高年段進行連續課教學，根據學生不同年齡的特點，選擇合適的教學法。如：二年級選擇畫圖法，五年級選擇列表法，六年級選擇假設法或方程法，七年級選擇二元一次方程組。為此，筆者進行了實踐。

二、 實踐篇

（一） 二年級教學片段

教學價值取向就是引導和幫助二年級的小朋友借助畫圖的方法進行嘗試與猜測，解決雞兔同籠問題。

情境：雞和兔關在同一個籠子里，上面數有8個頭，下面數有26條腿，請問雞、兔各有幾只？

（學生嘗試解決問題）

師：你是怎么做的？

生：用畫圖的方法解決。我先畫了8個圓圈表示雞和兔子共有8只，在每個圓圈的下面都畫上2條腿，發現只有16條腿，還少10條腿，把這10條腿添到雞的下面。

師：大家都是這樣想的嗎？請一位小朋友上來給大家畫畫看。

在老師的引導下，學生全身心地投入到用畫圖解決問題當中。滲透了數形結合的思想，比較直觀，易學好教，一道相對有難度的雞兔同籠問題就這么有趣地解決了。

（二） 五年級教學片段

在北師大版的教材中，強調用列表的方法解雞兔同籠問題。教材編排的價值取向就是讓孩子從無序的猜測到有序的整理，從逐一列表的繁瑣到跳躍列表法的彈性調整，最后選擇取中列表法。

情境：今雞兔同籠，上有35頭，下有94腿，問雞、兔各幾只？

（讓學生感受數據太大比較難解決）

再出示：“雞兔同籠，有9個頭，26條腿，雞、兔各幾只？”

……

生嘗試練習原題，選取典型三種列表法小組交流。

用列表法解決雞兔同籠問題，在枚舉和假設中讓學生經歷列表、嘗試和不斷調整的過程，從原始逐一列舉到跳躍列舉，理透了數量關系間的變化后，大部分學生喜歡簡便快捷的取中列舉的方法。但教師有必要讓學生明白每一種方法各有各的優點，應根據實際情況選擇合適的方法。

（三） 六年級教學片段

把雞兔同籠問題放在六年級上，是考慮六年級孩子的認知水平和已有的知識經驗有較好的基礎，為理解假設法和用方程解決做好了準備。

情境：今雞兔同籠，上有35頭，下有94腿，問雞、兔各幾只？

（小組合作，以小組為單位匯報）

生1：我們小組采用的方法有假設法、列表法、畫圖法三種方法。

生2：我是用畫圖法來表示的。

生3：我用的是列表法。（幻燈展示）

生4：我用假設法來算的。假設全部都是雞，35只雞就有70條腿，70條腿比94條腿少了24條腿，說明這24條腿是兔子的，我們把兔子都當成雞來算了，每只雞比兔子少2條腿，所以24÷2就是兔子的只數，35-12就是雞的只數。

師：那么可不可以假設都是兔子呢？

……

生5：我是用列方程來解決的……

（四） 七年級教學片段

七年級以“雞兔同籠”為突破口，認識二元一次方程組。從已有的“方程”經驗入手，借助并列的兩組等量關系，列出二元一次方程組，并學會用代數法或消元法解方程組，并注重結果的驗證。

情境：今雞兔同籠，上有35頭，下有94腿，問雞、兔各幾只？

師：今天我們學習用二元一次方程組來解決雞兔同籠問題。你們能從題目中得到哪些等量關系？

生：“雞只數+兔只數=總只數”和“兔腿+雞腿=總腿數”

師：設雞有x只，兔有y只。我們可以得到哪兩個方程？

生：x+y=352x+4y=94

師：我們可以組成一個方程組。（板書）

x+y=35①2x+4y=94②endprint

……

師：我們可以用代數法和消元法解這個二元一次方程組。

三、 思考篇

“雞兔同籠”問題在不同年級教學中大致的方法定位后，我們會面對一個追問：到七年級學了二元一次方程組后，學生馬上能夠解決這個問題，那么之前的那些“低級”方法有價值嗎？是的，就從解題的方法而言，價值不大！但我們要發掘的是雞兔同籠問題的教學價值以及教育價值。

（一） 在經歷解決問題的過程中積累活動經驗

“雞兔同籠”問題不管在哪個年段教學都應該著眼于其教材的本質，解讀其解題策略的本質屬性。重視學習過程中學生思維、情感的全程參與，在不斷地提出問題、解決問題的過程中，激活學生原有的經驗，不斷修復有缺陷的經驗，使粗糙的經驗漸漸趨于精致，淺層次的經驗得到提升，讓新生成的經驗自然地嵌入已有的經驗系統。“雞兔同籠”解題策略豐富多樣的背后也有同一性，即“假設法”。

無論是對解決問題方法、思路的總結以及方法的類比、遷移，最終的目的都是為了幫助學生積累經驗，經驗的獲得、能力的發展，并需要通過一節課一節課循序漸進地積累。

（二） 獲得活動經驗是智慧生長的重要路徑

美國數學家克萊因曾說過：“音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科技可以改善物質生活，但數學能給予以上的一切?！币虼?，教學中不能僅僅停留在知識的層面，“雞兔同籠”在各年段教學中，教學內容都納入到原有的知識體系中，實現認知體系的新建構，站在“學生未來發展所必須具備的解決問題的能力這一高度”思考其價值和意義，不斷刷新基本活動經驗的高度，從而讓學生獲得智慧的無限生長。

不同學段不同的方法，反映了學生操作思維、表象思維、分析思維三種不同的思維水平，“雞兔同籠”的解題策略從“畫圖法→列表法→假設法→方程→二元一次方程組”體現了不同的思維層次。但它們一脈相承，有自己獨特的生長方式。

（三） 在經驗積累中感悟數學思想

經驗積累與思想感悟決定人的思維方式。而經驗積累和思想感悟是悟出來的，想出來的，不是教會的?！半u兔同籠”教學不能過多地在“繁、難、奇、深”上下功夫，應該在準確把握文本教學價值的前提下，經歷探究、思考、抽象、推理、反思的過程，積累觀察、操作、猜想、歸納、推廣等活動經驗。從“雞兔同籠”問題的教學中，體驗“化歸”、“數形結合”、“枚舉”、“建模”等等的數學思想，感受數學的魅力。比如：在列表法中，鼓勵學生進行枚舉，如果頭和腿的數目較多，可以在枚舉過程中發現規律然后進行調整，如“發現腿數差很多，那就多增加兔子只數”，還可以從假設一半雞或兔子開始枚舉，來培養學生的數感和估算能力。可是，在實際教學中，很多老師往往不會這樣引導學生思考，覺得這是一個笨辦法。其實，這種方法是具有一般性的。教師要引導學生抓住學數學用數學的本質，學習“雞兔同籠”問題并非單純解決“雞兔同籠”問題，而是以“雞兔同籠”問題為載體，學習解決類似的實際問題的方法。

“雞兔同籠”問題不同年級連續課的教學，應充分認識到可以挖掘的內涵，使學生的收獲不僅僅停留在活動經驗上，而是從知識技能、數學原理、思想方法、具體策略等多方面得到發展，教師要獨具慧眼，把握好教學時機。

參考文獻：

[1]徐友新.加強引領 凸現思路[J].小學數學教師，2015，（3）.

[2]王琴.用思想統領方法[J].小學教學，2011，（11）.

作者簡介：

楊凱明，浙江省義烏市江濱小學。endprint