辨析概率分布中二項分布和超幾何分布

摘 要：高中數學概率分布中二項分布與超幾何分布是兩個重要的內容，學生對這兩模型的定義不能很好地理解。再來談談超幾何分布和二項分布的聯系與區別，可以讓學生徹底掌握兩個分布的應用。

關鍵詞：辨析；概率；分布

一、 正確理解兩個定義是解題的基礎

1. 二項分布 （有放回抽樣）

若有N件產品，其中M件是次品，有放回地任意抽取n件，則其中恰有次品的件數X服從二項分布。公式P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k，k=0，1，2，…，n

2. 超幾何分布 （無放回抽樣）

若有N件產品，其中M件是次品，無放回地任意抽取n件，則其中恰有次品的件數X服從超幾何分布。公式P（X=k）=CkMCn-kN-MCnN，k=0，1，2，…，n

例如：假設一批產品有100件，其中次品為10件。那么：（1）從中抽取一件產品，為正品的概率？這種可能結果只有兩種（抽的結果正品或次品）情況下就可以歸納為兩點分布.（2）有放回的抽樣，抽n次，出現正品數的分布.這個就是二項分布了.首先，這n次試驗可能出現的正品數為0～n；它相當于做了n次試驗，每次都是兩點分布，也就是說你這抽取n次，每次是正品的概率都是0.9.（3）如果不放回抽取m（≤100）個，這m件產品次品數的分布如何？此問就是超幾何分布了，當然這個時候要討論m與10誰大，以便確認分布的可能取值。以上顯然是比較兩種分布的實例，超幾何分布是不放回抽取，而二項分布是放回抽取，當總體的容量非常大時，超幾何分布近似于二項分布。

二、 辨析被抽取樣本數量多少是解題關鍵

兩者之間的關系：樣本個數越大，超幾何分布和二項分布對應的概率值差別就越小，當樣本個數為無窮大時，超幾何分布和二項分布對應的概率就相等，換言之，超幾何分布的極限就是二項分布。下面用兩道質檢題來加以區別與聯系。

【例】 2017泉州市質檢中的第19題概率題

某校為了校園安全教育系列活動的成效，對全校學生進行一次安全意識測試，根據測試成績評定“合格”“不合格”兩個等級，同時對相應等級進行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分，現隨機抽取部分學生的答卷，統計結果及對應的頻率分布直方圖如下所示。

（1）求a、b、c的值；

（2）用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”“不合格”的學生中選取10人進行座談，現再從這10人中任先選4人，記所選4人的量化總分為ξ，求的分布列及數學期望 E（ξ）；

等級不合格合格

得分[20，40）[40，60）[60，80）[80，100）

頻數6a24b

解：（1）由頻率分布直方圖可知，得分在[20，40）頻率為0.005×20=0.1

故抽取的學生答卷數為60.1=60，又由頻率分布直方圖可知得分在[80，100）頻率為0.2，所以b=60×0.2=12，又6+a+24+b=60，得a+b=30，所以a=18，c=1860×20=0.015

（2）“不合格”與“合格”的人數比例為24∶36=2∶3

因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人

所以ξ有20，15，10，5，0共5種可能的取值P（ξ=20）=C46C410=114，P（ξ=15）=C36C14C410=821，P（ξ=10）=C26C24C410=37，P（ξ=5）=C16C34C410=435，P（ξ=0）=C44C410=1210

ξ的分布列為：

ξ20151050

P114821374351210

所以E（ξ）=20×114+15×821+10×37+5×435+0×1210=12

例題中是從有限的10人中選4人，被抽取的樣本有限，是一種超幾何分布。

兩種分布的差別就在于“有”與“無”的差別，只要將概率模型中的“無”改為“有”，或將“有”改為“無”，就可以實現兩種分布之間的轉化。“返回”和“不返回”就是兩種分布轉換的關鍵。

參考文獻：

[1]《新課程學習·中》.2013年第03期.

[2]《高中生學習·高二版》.2012年第12期.

作者簡介：

洪金堅，現就職于福建省南安市第三中學。endprint