反例在代數教學中的作用

摘 要：本文通過一些實例說明反例在數學教學中的實際應用。

關鍵詞：反例；數學；教學

反例是相對于某個全稱命題的概念，要說明一個命題是假命題，通常可以舉出一個例子，使之具備命題的條件，而不具有命題的結論，這種例子稱為反例。數學中，反例常被用于證明之中。有許多數學猜想或命題的敘述是全稱命題，當證明這樣的數學猜想遇到困難時，數學家會趨向于尋找一個反例，以說明這個猜想是錯誤的。

在數學教學中，反例有相當重要的作用。條件的強弱，適用范圍的大小，都要通過反例加深理解。本文通過一些實例說明反例在數學教學中的作用。

例1 矩陣乘法不滿足消去律的反例。令

A=1-1-11，B=1212，C=0000。

那么A≠O，AB=O=AC。但是B≠C。

例2 矩陣相似而不合同，合同而不相似的反例。

即A與B相似。但A與B不合同，這是因為如果A與B合同，則有可逆矩陣P使得B=PTAP成立，那么

BT=（PTAP）T=PTATP=PTAP=B。

但顯然BT≠B。矛盾。

即A與B合同，但A與B的特征值分別為1，2和1，8，所以A與B不相似。

例3 最小多項式相同的矩陣不一定相似的反例。

如果矩陣A與B相似，那么有可逆矩陣T，使得B=T-1AT成立，于是對任一多項式f（x），

f（B）=T-1f（A）T。

因此，f（B）=O當且僅當f（A）=O。這說明相似的矩陣有相同的最小多項式。但是，如果矩陣A與B有相同的最小多項式，則A與B相似這個結論并不成立。下面給出反例。

由于若爾當塊11

01的最小多項式是（x-1）2，所以A與B的最小多項式分別是（x-1）2，（x-1），（x-2）和（x-1）2，（x-2），（x-2）的最小公倍式。

因這兩個最小公倍式都等于（x-1）2（x-2），故得A與B有相同的最小多項式。另一方面，A與B的特征值分別為1，1，1，2和1，1，2，2，所以A與B不相似。

例4 環的同態滿射不保持有沒有零因子這一性質的反例。考慮環（Z，+a，b·）到（Z6，+a，b·）的同態滿射

φ：a

MT ExtraaA@ [a]。

我們知道，Z沒有零因子。由于[2]≠[0]，[3]≠[0]，但是[2][3]=[0]。故Z6有零因子。

另一方面，考慮環（Z2，+a，b·）到（Z，+a，b·）的同態滿射

φ：（a，b）

MT ExtraaA@ a。

其中Z2的代數運算是

（a1，b1）+（a2，b2）=（a1+a2，b1+b2），

（a1，b1）（a2，b2）=（a1a2，b1b2）。

顯然，Z2的零元是（0，0）。我們有

（1，0）≠（0，0），（0，1）≠（0，0）。

但是

（1，0）（0，1）=（0，0）。

故Z2有零因子。但是Z沒有零因子。

參考文獻：

[1]北京大學數學系.高等代數[M].第四版.北京：高等教育出版社，2013.

[2]劉紹學.近世代數基礎.北京：高等教育出版社，1999.

作者簡介：

吳捷云，廣東省潮州市韓山師范學院數學與統計學院。endprint