對一道彈簧振子問題的討論

田柯

有這樣一道題：如圖1所示，一輕彈簧一端固定，另一端連接一物塊構成彈簧振子，該物塊是由a、b兩個小物塊粘在一起組成的。物塊在光滑水平面上左右振動 ，振幅為A0，周期為T0。當物塊向右通過平衡位置時，a、b之間的粘膠脫開；以后小物塊a振動的振幅和周期分別為A和T，則

A A0（填“>”“<”“=”）；

T T0（填“>”“<”“=”）。

看到其中第二問是求T和T0的定性關系，我拿到題目首先想到直接用彈簧振子的振動周期公式[T=2πmk]，當物塊a與b在平衡位置分離后，振子的質量減小，其他量均不發生變化，很容易得到T

但問題是，在物理課標的要求中，彈簧振子的周期公式不要求我們知道，教材中也沒有出現過，所以我又有點懷疑這一設問是不是超綱了？

經過查找資料，更進一步分析，我發現其實不用彈簧振子的周期公式仍然可得出正確結果。步驟如下：

首先建立物理模型。原題是一個輕彈簧拖動一個物體，物體質量發生一次變化。可以視為完全相同的兩根彈簧（或同一彈簧）分別拖動兩個質量不同的物體。我們把題目中的“小物塊a與b粘合在一起時”（質量為m1）設為彈簧振子1，把“小物塊a與b脫離開后”（僅a作為振子，質量為m2）設為彈簧振子2，兩振子的輕彈簧是完全一樣的。如圖2所示。[彈簧振子1][彈簧振子2][圖2] [a][a][b]

原題是彈簧振子通過原長位置時發生質量變化，可視為，彈簧振子1和2以相同的速度同時通過平衡位置，此刻開始計時，此后經過T/4，兩振子各自達到最大位移，分別比較二者所對應的時間及位移即可回答題目所問。

初狀態：兩個振子以相同的速度v0通過平衡位置，由于m1>m2 ，因此，EK1>EK2。

末狀態：兩個振子各自達到最大位移時速度均為0，動能全部轉化為彈性勢能。

這是一個始末狀態已知，要求對過程（時間、空間）進行討論做出判斷的問題。

方法1：

從功能關系的角度分析（以分析出的位移作圖）。

課本明確指出：簡諧振動的能量與振幅有關，能量大振幅大。由上可知兩彈簧振子能量關系EK1>EK2，所以兩振子的振幅關系是A1>A2，振子1的位移大于振子2的位移。結合相同的始末狀態，做出v-t圖象，在圖象中位移關系應是曲線（余弦）與坐標軸所夾面積，應有面積S1>面積S2。所以可畫得圖象如圖3所示：

[v0] [v][t][t1][t2][圖3] [o]

由圖象的橫軸上，很容易看出t1>t2 ，則T

方法2：

從力和運動的角度分析（以分析出的加速度作圖）。

兩振子在從平衡位置運動到最大位移處的過程中，位移x不斷增大，彈力不斷增大、加速度a也在不斷增大，但由于m1>m2 ，對于相同的位置，兩振子所受彈簧彈力相同，所對應的加速度a1s2，即A

[v0] [v][t][t1][t2] [圖4][o]

方法3：

仍然按上面所建的兩個彈簧振子模型和所討論的運動過程：兩物體速度均是由v變到零。因為速度的改變量相同，所以質量大的物體動能的變化量大、動量的變化量大。

上述物體的狀態變化是彈簧彈力作用結果。（質量不同的兩物體是在相同彈簧或同一彈簧分別對兩物體作用結果）

物體動能變化量大，按動能定理，需要外力對其做功多，同一彈簧從原長開始連續變化，若做功多，位移一定大（振幅）；即A

物體動量變化量大，按動量定理，需要外力對其沖量大，同一彈簧從原長開始連續變化，若沖量大，時間一定長（周期）。即T

這種思考則是抓住了問題的實質，應用了物理規律確切的含義，所以問題的解決變得更加簡單、明了。

以上解題過程建立物理模型結合了等效法，等效為兩個彈簧振子狀態量v發生同樣的變化，使得原題中一個振子質量變化前后運動狀態與過程的全面比較變得一目了然，這種物理方法也值得借鑒。

通過討論這一問題，也給我帶來了一些啟示：很多新公式（如彈簧振子周期公式）和新結論的直接應用給我們帶來方便，但不要讓它抑制了我們的思維，有了困惑時別忘了回頭看看物理的基本公式（運動學公式、牛頓定律、動能定理、動量定理、守恒定律等原始規律），回頭想想物理的基本思想方法（建模、等效、受力、狀態與過程、圖象分析等），因為有時只有回到這些“原點”性內容，才能找到更本質的東西，對問題才能看得更透徹，得以有更多的視角去審視新問題，得以用更多的方法去解決新問題，隨著問題的解決也使我們對物理概念、規律、物理思想方法在應用中加深了理解，我們才會得到更大的收獲。