三力交匯原理的應用

李坤

如果物體受到三個不平行的力的作用而平衡，則這三力必在同一平面內，且三力必共點. 這就是三力交匯原理.

“杠桿類”平衡問題

例1 用力[F]將水平地面上的一塊均勻木板一端抬起如圖1所示，保持靜止. 分析地面對木板有無摩擦力作用？

解析 木板除受重力，還受力[F]，如果把地面對木板下端的作用等效為一個力， 就是受三個不平行力而平衡，遵循三力匯交原理，可知三力的共點位置，如圖2所示. 由于彈力垂直地面向上，故可知靜摩擦力水平向右.

點撥 本題可以看出三力交匯原理對“杠桿類”平衡問題有很強的甄別作用. [ 圖3]

例2 [A、B、C]三物體分別拴在三段足夠長的輕繩上，跨過天花板上兩輕小定滑輪懸掛如圖3所示. 已知[mA]=4kg，[mB]=2kg，為使系統平衡時，中間物體[C]能在兩輪之間，則物體[C]的質量可取（ ）

A. [mC]=3kg B. [mC]=4kg

C. [mC]=5kg D. [mC]=6kg

解析 系統平衡時，結點[O]處所受合外力為零，三力矢量構成封閉的矢量三角形，如圖4甲所示.

甲 乙 丙

再采用極端思考法：當[mC]取某極大值時，因繩足夠長，則結點[O]趨近右輪正下方，[O]上頭兩段趨于豎直，如圖4乙所示，則[mC]=6kg

當[mC]取某極小值時，結點[O]趨近左輪，[O]上邊右側繩趨于水平，如圖4丙所示，則[mC]=[42-22=23]kg

綜上得[23kg

點撥 在較為復雜的單調變化問題中，常常采用極端思考的思維方法，可將問題特征很快凸顯出來. 物理選擇題一些常用的思考方法，有如比較淘汰法、矢量圖解法、圖象法、假設法、等效轉換法、模型類比法、極端思考法、極限分析法、特值代入法、單位檢驗法等.

剛體的平衡問題

例3 如圖5所示，一個光滑的半球形碗內，一根輕桿兩端固定有兩小球A、B. 當它們靜止時，A、B與球心O的連線與水平分別成60°和30°. 求A、B兩球的質量之比和碗對它們的彈力大小之比. [ 圖5]

解析 方法一：先分析兩球受力，如圖6所示，平衡時，根據力矢量三角形與幾何三角形相似，對小球[A]，有[mAgOC=FAC=NAR]

對小球[B]，有[mBgOC=FBC=NBR]

由于[F=F]，故[mAmB=BCAC=NANB]

又[ACBC=x1x2=Rcos600Rcos300=13]

聯立解得[mAmB=NANB=31]

本題可等效為兩個“拉 [ 圖6]力”[NA]、[NB]將剛體“吊”在“懸點”[O]處平衡，故整體的質心在[O]得正下方[C]，整體的合外力為零，構成封閉的力矢量三角形. 由于[NA⊥NB]，整體的重力[（mA+mB）g]豎直向下，故由矢量圖6，得[NANB=31]

方法二：桿連接[A、B]兩球可以看作整體，但不是質點，是剛體. 靜平衡的剛體同時滿足兩個條件：（1）所受外力的矢量和為零，含軸處受力；（2）對任意轉軸，所受外力的力矩代數和為零，即

[∑F=0∑M=0]

根據剛體的平衡條件[∑M=0]，對整體，不計內力[F]和[F]，以圓心[O]為軸，[mA]和[mB]的力臂都為零，力矩為零；有[mAg?Rcos60°=mBg?Rcos30°]，得[mAmB=31]

點撥 比較上述解法，顯然從力矩的角度思考更簡明輕松. 要求同學們掌握力矩的概念，會找各力的力臂——轉軸到力的作用線的距離.

例4 長[L]、質量 [ 圖7]為[m]的均勻直桿[AB]放置在光滑的半徑為[R]的半球形碗內，如圖7所示，平衡時，求碗口處對桿的支持力大小[NB].

解析 本題直桿受三個不平行的力而靜止，三力矢量和為零，三力必共點（三力匯交定理），三力構成封閉的“力矢量三角形”，如圖8所示.

根據圖中幾何三角形與力矢量三角形相似，有

方法一：[mg2R=NBL2]，得[NB=L4Rmg]

方法二：[BC=2Rcos2θ=L2cosθ]，得[cos2θcosθ=L4R]

在力矢量三角形中，由正弦定理，有

[NBsin（900-2θ）=mgsin（900+θ）]，即[NBmg=cos2θcosθ]

聯立解得[NB=L4Rmg]

方法三：均勻直桿[AB]大小不能忽略，不是質點，是剛體. 對任意轉軸，桿所受外力的力矩代數和為零. 以[A]為轉軸，力[F]的力臂為零，力矩為零，有

[NB?2Rcosθ=mg?L2cosθ]，得[NB=L4Rmg]

點撥 有固定轉動軸物體平衡問題解題步驟：1.明確研究對象，即明確繞固定轉動軸轉動的是哪一個物體.2.分析研究對象所受力的大小和方向，并畫出力的示意圖.3.依題意選取轉動軸，并找出各個力對轉動軸的力臂，力矩的大小和方向. 特別是找力臂很關鍵. 4.列出兩個平衡方程求解.