含參不等式恒成立問題的求解

王丹+謝偉

含參不等式恒成立問題在高考試題中如同一顆璀璨的明珠奪人眼球，與函數、方程、數列、導數等知識結合，演奏出了一曲曲優美的樂章. 解決這類問題需要運用換元、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，下面舉例介紹這類問題的求解策略.

數形結合法

有些含參不等式恒成立問題，從數的角度很難切入；但從形的角度入手，可以利用恒成立條件的幾何意義直觀求解.

例1 若對任意[x∈]R，不等式[x≥ax]恒成立，則實數[a]的取值范圍是（ ）

A. [a<-1] B. [a≤1]

C. [a<1] D. [a≥1]

解析 如圖，其幾何意義是[f（x）=x，][x∈R]的圖象不低于[g（x）=ax， x∈R]的圖象. 因此，[a≤1].

答案 B

例2 若不等式[3x2-logax<0]在[x∈0，13]上恒成立，則實數[a]的取值范圍是________.

解析 由題意知，不等式[3x2

如圖，其幾何意義是在區間[0，13]上函數[f（x）=logax]的圖象在函數[g（x）=3x2]的圖象的上方.

若[a>1]，則函數[f（x）=logax]的圖象在函數[g（x）=3x2]的圖象的下方，不合題意.

若[0

則[loga13≥13]，解得，[a≥127].

所以，[127≤a<1].

綜上所述，實數a的取值范圍是[127，1].

答案 [127，1]

點評 對于具有明顯幾何意義的含參不等式恒成立問題，可以利用其幾何意義建立關于參數的不等式，進而求出參數的取值范圍.

不等式解集法

若不等式[f（x）>0]的解集是集合[B]，則不等式[f（x）>0]在集合[A]中恒成立等價于集合[A]是集合[B]的子集. 利用[A?B]建立關于參數的不等式，即可求出參數的取值范圍.

例3 已知[f（x）=x+a+x-2]，若[f（x）≤x-4]在[[1，2]]上恒成立，則實數a的取值范圍是________.

解析 由題意知，[x+a+x-2≤x-4]在[[1，2]]上恒成立，也就是[x+a+2-x≤4-x]，即[x+a≤2]在[[1，2]]上恒成立.

因為不等式[x+a≤2]的解集為[-2-a，2-a]，

所以[[1，2]][?-2-a，2-a].

從而[-2-a≤1，2-a≥2，]解得，[-3≤a≤0].

答案 [-3，0]

例4 設[f（x）]是定義在R上的偶函數，且當[x≥0]時，[f（x）=2x]. 若對任意的[x∈[a， a+2]]，不等式[f（x+a）][≥f2（x）]恒成立，則實數[a]的取值范圍是________.

解析 由題意知，[f（x）=2x].

則[f（x+a）≥f2（x）]，即[2x+a≥2x2].

亦即[x+a≥2x]對任意的[x∈[a， a+2]]恒成立.

也就是[3x2-2ax-a2≤0]對任意的[x∈[a， a+2]]恒成立.

（1）當[a<0]時，不等式[3x2-2ax-a2≤0]的解集為[a，-a3].

則[[a，a+2]][?a，-a3].

從而[a<0，-a3≥a+2，]解得，[a≤-32].

（2）當[a=0]時，不等式[3x2-2ax-a2≤0]的解集為[0].

則[[a，a+2]][?0]，這是不可能的，所以[a∈?].

（3）當[a>0]時，不等式[3x2-2ax-a2≤0]的解集為[-a3，a].

則[[a，a+2]][?-a3，a]，這是不可能的，所以[a∈?].

綜上所述，實數[a]的取值范圍是[-∞，-32].

答案 [-∞，-32]

點評 對于容易求出不等式的解集的含參不等式恒成立問題，可以根據給定恒成立區間是不等式解集的子集列出關于參數的不等式（組），從而求得參數的取值范圍.

函數最值法

含參不等式恒成立問題中至少含有兩個變量，根據條件構造函數，并用求函數最值的方式解題. 一般有兩種解題策略.

（1）分離參數法. 先分離參數[k]得，[k>f（x）]，或[kf（x）]恒成立[?k>f（x）max]；②[k

（2）不分離參數法. 不分離參數[k]，直接構造含參數[k]的函數[y=g（x）]，通過求含參數[k]的函數[y=g（x）]的最值，建立關于[k]的不等式，再求參數[k]的取值范圍.

例5 若不等式[x2+ax+1≥0]對[x∈0，0.5]恒成立，則實數a的最小值是（ ）

A. 0 B. -2

C. -2.5 D. -3

解析 兩種轉化策略：（1）分離參數法，將不等式轉化為[a≥-x+1x]. 由題意知，它對[x∈0，0.5]恒成立，構造不含參數的函數[g（x）=-x+1x]，[x∈0，0.5]并求出最值，只需[a≥g（x）max]. （2）不分離參數法，直接構造含參數[a]的函數[f（x）=x2+ax+1]，[x∈0，0.5]，并用參數[a]表示出最小值[h（a）]，只需[h（a）≥0].

方法一：將不等式轉化為[a≥-x+1x]，由題意知，它對[x∈0，0.5]恒成立.

構造函數[g（x）=-x+1x，x∈0，0.5].

因為[y=g（x）=-x+1x]在[0，0.5]上是增函數，

所以[g（x）max=g（0.5）=-2.5].

所以[a≥-2.5].

所以實數[a]的取值范圍是[{a|a≥-2.5}].

方法二：構造函數[y=f（x）=x2+ax+1]，[x∈0，0.5.]

①當[a≥0]時，[y=f（x）]在[0，0.5]上是增函數.

則[f（x）>1]，所以[a≥0]符合題意.

②當[-1

由題意得，[-1

所以[-1

③當[a≤-1]時，[y=f（x）]在[0，0.5]上是減函數.

則[ymin=f（0.5）=1.25+0.5a].

由題意得，[a≤-1，1.25+0.5a≥0.]

所以[-2.5≤a≤-1].

綜上所述，實數[a]的取值范圍是[aa≥-2.5].

點評 一般選擇恒成立的變量和區間作為構造函數的自變量和定義域. 如例5中選擇[x]而不是[a]作為自變量，選擇[0，0.5]而不是其他范圍作為定義域. 而且，通常用到一次函數、二次函數、[y=x+kx（k>0）]型等函數的性質，以及利用導數的性質求函數的最值.

例6 已知函數[f（x）=xlnx-ax2]在[x∈1e2，+∞]上是單調增函數，求實數a的取值范圍.

解析 方法一：依題意得，[f（x）=lnx-2ax+1≥0]對[x∈1e2，+∞]恒成立，即[2a≤lnx+1x]對[x∈1e2，+∞]恒成立.

令[gx=lnx+1x]，則[gx=-lnxx2].

所以g（x）在[1e2，1]上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減.

又當x→+∞時，g（x）→0，且[g1e2=-e2]，

故[gxmin=g1e2=-e2].

所以[2a≤-e2]，即[a≤-e22].

所以實數[a]的取值范圍是[-∞，-e22].

方法二：依題意得，[f（x）=lnx-2ax+1≥0]對[x∈1e2，+∞]恒成立.

令[h（x）=lnx-2ax+1，x∈1e2，+∞]，

則[h（x）=lnx-2ax+1≥0]對[x∈1e2，+∞]恒成立.

則[h（x）=1x-2a=-2ax+1x].

①當[a≤0]時，[h′（x）>0]，[h（x）]在區間[1e2，+∞]上單調遞增.

則[h（x）min=h1e2=-2ae2-1≥0].

則[a≤0，-2ae2-1≥0.]

解得，[a≤-e22].

②當[a>]0時，由[h′（x）>0]得，[x=12a].

當[1e2<12a]，即[0

當[x→+∞]時，[g（x）→-∞]，故不合題意.

當[1e2>12a]，即[a>e22]時，h（x）在區間[1e2，+∞]上單調遞減.

當[x→+∞]時，[g（x）→-∞]，故不合題意.

綜上所述，實數[a]的取值范圍是[-∞，-e22].

點評 兩種解題策略的區別在于：構造的函數是否含有參數，而參數會對求最值產生影響. 一般優先選擇分離參數法，如果分離參數比較困難，再選擇不分離參數法.