二項分布要點解讀

寇玉琴

二項分布是離散型隨機變量中繼“兩點分布”“超幾何分布”后的又一常見的、重要的隨機變量的概率分布.其分布的特殊性以及與組合、概率等的綜合性，使它成為近幾年高考中的高頻考點. 本文從二項分布的概念、二項分布的三種常見題型兩個大方面出發，列舉幾個典型范例加以解讀，以期幫助讀者有效掌握二項分布知識，準確解答二項分布問題.

辨析二項分布模型，正確寫出分布列

例1 在一次數學考試中，第[22]題和第[23]題為選做題. 規定每位考生必須且只需在其中選做一題. 設[4]名學生選做每一道題是相互獨立的，且選做每道題的概率均為[12].

（1）求其中甲、乙兩名學生選做同一道題的概率；

（2）設這[4]名考生中選做第[22]題的學生個數為[ξ]，求[ξ]的分布列.

解析 （1）設事件[A]表示“甲選做第[22]”，事件[B]表示“乙選做第[22]”，

則甲、乙兩名學生選做同一道題的事件為“[AB+AB]，且事件[A，B]相互獨立.

故[P（AB+AB）=P（A）P（B）+P（A）P（B）]

[=12×12+（1-12）×（1-12）=12].

（2）由題意知，隨機變量[ξ]的可能取值為[0，1，2，3，4，]且[ξ～B（4，12）].

則[P（ξ=k）=Ck4（12）k（1-12）4-k=Ck4（12）4， k=0，1，2，3，4].

故變量[ξ]的分布列為

點評 題目中“[4]名學生選做每一道題是相互獨立的，且選做每道題的概率均為[12]”，說明了它是4次獨立重復試驗，并且每次事件發生的概率都是[12]. 因此它符合二項分布的兩個條件，是典型的二項分布模型.

例2 在公園游園活動中有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有[3]個白球和[2]個黑球，乙箱子里裝有[1]個白球和[2]個黑球，這些球除顏色外完全相同；每次游戲都從這兩個箱子里各隨機地摸出[2]個球，且每次游戲結束后將球放回原箱. 若摸出的白球不少于[2]個，則獲獎.

（1）求在一次游戲中摸出[3]個白球的概率；

（2）在兩次游戲中，記獲獎的次數為[X]，求[X]的分布列.

解析 （1）記“在一次游戲中摸出[3]個白球”為事件[A]，事件[A]的概率為[P（A）]，

則[P（A）=C23C12C25C23=15].

故在一次游戲中摸出3個白球的概率[15].

（2）記“一次游戲獲獎”為事件[B]，事件[B]的概率為[P（B）]，

則[P（B）=C23C22+C13C12C12+C23C12C25C23=710].

而獲獎次數為[X]的所有可能取值為0，1，2，

由題意知，[X～B（2，710）].

[P（X=0）=310×310=9100]，

[P（X=1）=C12×710×310=2150]，

[P（X=2）=710×710=49100].

則[X]的分布列為

[[X] 0 1 2 [P] [9100] [2150] [49100] ]

點評 “每次游戲結束后將球放回原箱”點明了是有放回地[n]次摸球試驗，這是典型的二項分布模型. 值得注意的是，有時超幾何分布在產品數量[n]相當大時，也可以近似地看成二項分布.

判斷某隨機變量是否服從二項分布，要看兩點：（1）是否為[n]次獨立重復試驗，在每次試驗中事件[A]發生的概率是否均為[P]；（2）隨機變量是否為在這[n]次獨立重復試驗中某事件發生（不發生）的次數.

掌握二項分布概念，會計算期望和方差

例3 （1）同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，當至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在[2]次試驗中成功次數[X]的均值是 .

（2）一批產品的二等品率為[0.02]，從這批產品中每次隨機取一件，有放回地抽取[100]次，[X]表示抽到的二等品件數，則[D（X）=] .

解析 （1）由于同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，當至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，

所以這次試驗成功的概率是[P=1-（12）2=34].

因此在2次試驗中成功的次數[X～B（2，34）].

則[E（X）=2×34=32].

（2）由題意知，該事件滿足獨立重復試驗，是一個二項分布模型，其中[X～B（100，0.02）]，[P=0.02，n=100].

則[D（X）=100×0.02×0.98=1.96].

點評 這道題的選材來源于生活，是同學們熟悉的背景，容易入手. 題目中“有放回地抽取”就說明了它是二項分布模型. 另外，本題考查的是二項分布的期望與方差，直接用公式計算比較簡單.

明確交匯知識，建立數學模型

例4 近幾年來，某地區經常出現霧霾天氣，學校為了學生的健康，對課間操活動做了如下規定：課間操時間，若有霧霾，則停止組織集體活動；若無霧霾，則組織集體活動. 預報得知，這一地區在未來一周從周一到周五[5]天的課間操時間出現霧霾的概率是：前[3]天均為[50]%，后[2]天均為[80]%，且每一天出現霧霾與否是相互獨立的.

（1）求未來一周[5]天至少一天停止組織集體活動的概率；

（2）求未來一周[5]天不需要停止組織集體活動的天數[X]的分布列；

（3）用[η]表示該校未來一周[5]天停止組織集體活動的天數，記“函數[f（x）=x2-ηx-1]在區間[（3，5）]上有且只有一個零點”為事件[A]，求事件[A]發生的概率.endprint

解析 （1）未來一周[5]天都組織集體活動的概率是：[P=（12）3（15）2=1200]，

則至少有一天停止組織集體活動的概率是：[1-P=199200].

（2）由題意知，[X]的取值是[0，1，2，3，4，5].

[P（X=0）=225]，

[P（X=1）=（12）3×C12×45×15+C13×（12）3×（45）2=725]，

[P（X=2）=C23×（12）3×（45）2+C13×（12）3×C12×15×45]

[+（12）3×（25）2=73200，]

[P（X=3）=C13×（12）3×（15）2+C23×（12）3×C12×15×45] [+（12）3×（25）2=43200，]

[P（X=4）=C23×（12）3×（15）2+（12）3×C12×15×45=11200]，

[P（X=5）=（12）3×（15）2=1200].

則不需要停止組織集體活動的天數[X]的分布列如下表.

（3）因為函數[f（x）=x2-ηx-1]在區間[（3，5）]上有且只有一個零點，且[0≤η≤5]，

所以[f（3）f（5）<0.]

所以[83<η<245.]

所以[η=3，或η=4.]

所以事件[A]發生的概率為：

[P（A）=C13（12）3×（45）2+C23（12）3×C12×15×45+（12）3×（25）2]

+[（12）3×C1245×15+C23（12）3×（45）2]

[=129200.]

點評 [n]次獨立重復試驗是相互獨立事件的特殊情況.當相互獨立事件發生的概率部分相同時，可以用二項分布公式來表達.

例5 為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取[16]個零件，并測量其尺寸（單位：cm）. 根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分布[N（μ，σ2）]. 假設生產狀態正常，記[X]表示一天內抽取的[16]個零件中其尺寸在[（μ-3σ，μ+3σ）]之外的零件數，求[P（X≥1）]及[X]的數學期望.

附：若隨機變量[Z]服從正態分布[N（μ，σ2）]，則[P（μ-3σ

解析 由題意知，尺寸落在[（μ-3σ，μ+3σ）]之內的概率為[0.9974].

則尺寸落在[（μ-3σ，μ+3σ）]之外的概率為[1-0.9974=0.0026].

因為[P（X=0）=C016（1-0.9974）0×0.997416=0.9592]，

所以[P（X≥1）=1-P（X=0）=0.0408].

則[E（X）=16×0.0026=0.0416].

點評 二項分布與頻率分布直方圖（或莖葉圖）、正態分布、獨立性檢驗等的綜合已經成了高考的創新題型與高考一大亮點. 解決二項分布的創新性、交匯性問題，務必要明確交匯知識，正確應用相關知識，建立恰當的數學模型求解.

[練習]

1. 下列說法正確的是________. （填序號）

①某同學投籃的命中率為[0.6]，他[10]次投籃中命中的次數隨機變量[X]，[X～B（10，0.6）]；

②某福彩的中獎概率為[P]，某人一次買了[8]張，中獎張數隨機變量[X]，[X～B（8，P）]；

③從裝有[5]個紅球、[5]個白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球為止，則摸球次數[X]是隨機變量，且[X～B（n，12）].

2. 已知隨機變量[X]服從二項分布[Bn，P]，若[EX=30]，[DX=20]，則[P=] .

3. 在等差數列[an]中，[a2=2，a7=-4]，現從[an]的前[10]項中隨機取數，每次取出一個數，取后放回，連續抽取[3]次. 假定每次取數互不影響，那么在這三次取數中，取出的數恰好為兩個正數和一個負數的概率為______. （用數字作答）

4. 擲一枚質地均勻的骰子[n]次，設出現[k]次點數為[1]的概率為[Pn（k）]，若[n=20]，則當[Pn（k）]取最大值時，[k]為（ ）

A. [3] B. [4] C. [8] D. [10]

5. 2017年4月9日在湖北省武漢市舉行了國際馬拉松賽事，賽后某機構用“[10]分制”調查了很多人（包括普通市民、運動員、組織者、志愿者等）對此項賽事的滿意度. 現從調查人群中隨機抽取[16]名，莖葉圖記錄了他們的滿意度分數（以小數點前的一位數字為莖，小數點后的一位數字為葉）.

[7 3 0 8 6 6 6 6 7 7 8 8 9 9 9 7 6 5 5 ]

（1）指出這組數據的眾數和中位數.

（2）若滿意度不低于[9.5]分，則稱被調查者的滿意度為“極滿意”. 求從這[16]人中隨機選取[3]人，至多有[1]人是“極滿意”的概率.

（3）以這[16]人的樣本數據來估計整個被調查群體的總體數據，若從被調查群體（人數很多）任選[3]人，記[ξ]表示抽到“極滿意”的人數，求[ξ]的分布列及數學期望.

[參考答案]

1. ①② 2. [13] 3. [625] 4. A

5. （1）眾數：[8.6]；中位數：[8.75] （2）[121140]

（3）[ξ～B（3，14）] [Eξ]=[0.75]