過熱汽溫系統無記憶狀態反饋H∞魯棒預測控制

劉 淼， 王東風， 賈 昊

(華北電力大學 自動化系，河北省發電過程仿真與優化控制工程技術研究中心，河北保定 071003)

火電廠鍋爐汽溫直接影響全廠的熱效率以及過熱器管道、汽輪機等設備的安全運行.引起過熱汽溫變化的干擾因素較多，擾動量較大，并且過熱汽溫的大遲延、大慣性加大了過熱汽溫控制的難度[1].目前，大多數發電機組仍采用常規汽溫控制系統，如串級汽溫控制系統，或具有導前汽溫微分信號的雙回路控制系統.近年來，許多先進的控制算法在過熱汽溫系統中得到了廣泛應用，如自適應模糊神經網絡控制[2]、自適應預測PI控制[3]、非線性廣義預測控制[4]、網絡化預測控制[5]以及自適應Smith預估補償[6]等.

預測控制(MPC)也稱為滾動時域控制，實現MPC需要計算機承擔很大的計算量，但因為具有較高的魯棒性擴展性[7-8]，其被廣泛應用于工業中[9].對于實際的過熱汽溫系統，不確定性和擾動是普遍存在的問題.在MPC中引入魯棒控制對不確定性的處理方法，能使被控系統在滿足可行性條件下達到漸近穩定，從而有效處理系統模型的不確定性和擾動等問題.此外，許多控制問題可以轉化為一個線性矩陣不等式(LMI)系統的可行性問題，或是一個具有LMI約束的凸優化問題[10].因此，可以采用LMI方法對控制系統進行分析和求解[11].

黃鶴等[12]研究了線性時不變(LTI)系統的魯棒模型預測(RMPC)控制器，采用兼顧了系統的抗干擾能力和閉環控制性能的混合H2/H∞控制方法.該方法可使系統穩定到某一穩定狀態，但不能使系統的輸出跟蹤期望值變化；秦偉偉等[13]針對一類具有輸入約束的離散線性不確定時滯系統，提出了一種改進的準Min-Max魯棒預測控制方法，但由于設計了包含時滯狀態的記憶狀態反饋控制律，需要在線優化控制量；劉吉臻等[14]將基于LMI方法的非線性時滯系統魯棒H∞控制技術引入到鍋爐再熱汽溫的狀態變量控制中，探討了一種鍋爐再熱汽溫控制的新方法.

筆者首先將火電廠過熱汽溫系統在不同負荷下的系統模型組成一個集合，并將該集合近似為一個多包線性不確定系統；然后采用閉環多步控制策略，結合魯棒預測控制優點和無記憶反饋控制思想提出了基于無記憶反饋控制策略的H∞魯棒預測控制(HRPC)方法.另外，筆者還研究了具有串級HRPC結構(HRPC-P)的控制器的設計方法，該方法不僅減少了控制器的優化參數，而且降低了對模型精度的要求.最后通過某600 MW火電廠鍋爐過熱汽溫系統的仿真實驗結果證明了HRPC-P控制器設計方法的可行性和有效性.

1 問題描述

考慮多包不確定離散系統：

(1)

式中：A(k)為已知的隨時間變化的常數矩陣；B、Bw和C為已知的常數矩陣；k為采樣時刻；x(k)∈Rn為實時可測狀態；u(k)∈Rm、y(k)∈Rl分別為輸入和輸出；ω(k)∈Rn為外界擾動，[A(k)B(k)]∈Ω，集合Ω={[A1,B1],[A2,B2],…,[AL,BL]}.

系統的輸入約束為：

(2)

即

|uj(k+i|k)|≤uj,max,

k≥0,i≥0,j=1,2,…,m

(3)

參考信號yr(k)由參考系統產生：

(4)

式中：xr(k)為參考狀態；r(k)為期望輸入；Ar為適當維數的Hurwitz矩陣；Br、Cr為適當維數的常數矩陣.

為使式(1)所示的多包不確定離散系統的狀態變量跟蹤預先設定的參考軌跡，設計線性無記憶反饋控制器：

(5)

式中：xc(k)∈Rn為控制器狀態；K1、K2為待求的反饋控制器增益矩陣.

將式(5)所示的無記憶反饋控制器代入式(1)得到閉環系統：

(6)

整理式(5)、式(6)可得到跟蹤系統：

(7)

其中，

(8)

2 H∞魯棒預測控制器設計

2.1 H∞性能指標

對于所提出的無記憶反饋控制策略，選取李雅普諾夫函數：

i=0,…,N-1

(9)

式中：Pi為常數對稱陣.當Pi>0，且i>N時，Pi=PN-1.

yT(k+i)y(k+i)+γ2vT(k+i)v(k+i)

(10)

(11)

式中：*為根據矩陣的對稱性得到的矩陣子塊，如：

(12)

根據上述二次函數，可以用引理1來保證H∞的性能指標.

2.1.1 引理1

i=0,…,N-1

(13)

2.1.2 引理1的證明

將式(10)左右兩邊從i=0到∞相加求和可得：

(14)

式(14)可寫成：

(15)

當x(k)=0時，式(8)所示的性能指標等價于：

(16)

由式(14)可知，如果Wi(k)≤0，那么不等式(16)成立，即H∞的性能要求可以滿足.

(17)

應用Schur補性質，將式(17)寫成式(18)所示的LMI形式.

(18)

在實際過程中，i的最大取值N表示從當前時刻起之后N步的預測輸出逼近期望值，N的長度應該包括對象的主要動態部分.若N取值較小，則快速性好，但穩定性和魯棒性較差；若N取值較大，則穩定性好，但動態響應慢，且計算時間較長，降低了系統的實時性.因此需選擇適當的N值，使系統既能獲得所期望的穩定的魯棒性，又能具有所需的動態快速性.

2.2 約束條件

2.2.1 引理2

對于約束條件，可以參考引理2[15]來處理.如果存在Qi∈R3n×3n和Yi∈R3m×3n(i=0,…,N-1)使引理1成立，且存在對稱陣X滿足式(19)，則約束條件滿足.

j=1,2,…,nm

(19)

2.2.2 引理2的證明

在采樣時刻k，考慮式(2)所示的系統輸入約束，由式(7)所示的無記憶反饋控制器可以得到：

(20)

|uj(k+i|k)|≤uj,max，

i≥0,j=1,2,…,m

(21)

應用Cauchy Schwarz不等式[15]可得：

(22)

因此，存在對稱矩陣X使得：

(23)

式中：Xjj為矩陣X的對角線元素.

綜上所述，對于式(7)所示的跟蹤系統，由引理1和引理2可以得出無記憶反饋多步H∞魯棒預測控制算法，在k時刻，求解下列優化問題：

s.t. 式(12),式(19)

2.3 魯棒穩定性

2.3.1 定理1

2.3.2 定理1的證明

如果該優化問題在k時刻可行，那么存在最優解：

{Q0,L,QN-1,Y0,L,YN-1,X0,L,XN-1,γ(k)}

由于擾動的存在，由引理1和引理2可得，在k+1時刻的優化問題存在可行解：

{Q1,L,QN-1,QN-1,Y1,L,YN-1,YN-1,

X1,L,XN-1,XN-1,γ*(k)}

其中，γ(k+1)=γ*(k).根據控制原理可知γ*(k+1)≤γ(k+1)≤γ*(k).

當擾動消失時，由于Wi(k)≤0，故V(k+1)

3 HRPC-P控制器設計

傳統的過熱汽溫系統采用串級比例積分微分(PID)控制方式時，內回路PID控制器的整定目標是快速消除內擾以及燃燒系統和噴水減溫水系統等帶來的擾動，起到粗調的作用，不要求無差.因此，常采用比例調節器，將內回路整定為一個快速的隨動系統.考慮到簡化設計、保證魯棒穩定以及便于實際應用等，在筆者設計的無記憶狀態反饋多步H∞魯棒預測串級控制方法中，內回路采用比例P調節器，其控制結構如圖1所示.

圖1 HRPC-P控制結構圖

假設過熱汽溫系統在多個負荷狀態下的導前區和惰性區的傳遞函數已知，則HRPC-P的設計步驟為：

(1)根據系統對快速性及穩定性的要求，選擇合適的滾動優化步數N，控制器的可行域隨N的增大而增大[11].

(2)優化內環PID控制器，若選擇比例控制，則只需優化比例增益δ，使內環系統快速隨動.

(3)設置期望值及參考軌跡系統.

(4)在采樣時刻k，當i=0時，求解優化問題，得到此時的最優解{Q0,L,QN-1,Y0,L,YN-1,X0,L,XN-1,γ(k)}.

(5)i=i+1,…，N-1，并得到相應的最優解{Q1,L,QN-1,QN-1,Y1,L,YN-1,YN-1,X1,L,XN-1,XN-1,γ*(k)}

(7)令k=k+1，跳轉到步驟(4).

4 仿真實驗

以某600 MW超臨界直流鍋爐過熱汽溫系統作為被控對象，則300 MW、450 MW和600 MW負荷時的傳遞函數模型[2]分別為：

(24)

(25)

(26)

各傳遞函數的前半部分為導前區，后半部分為惰性區.選擇離散采樣時間t=1 s，將上述傳遞函數模型轉化為離散狀態空間模型，轉化結果見表1.

表1 離散狀態空間模型

以G45(s)為例，設置參考系統矩陣：

優化導前區比例控制器參數δ，使內環能夠快速隨動.觀察HRPC-P控制系統輸出跟蹤參考軌跡yr的情況，并與串級PID控制(PID-P)及動態矩陣串級控制[16](DMC-P)比較控制品質.圖2為不同控制器的階躍響應輸出.從圖中的局部放大圖可以看出，在HRPC-P控制下，系統輸出能夠較好地跟蹤參考軌跡，無超調，并以最快的速度達到穩定；在PID-P控制下，系統上升時間快，但有10%的超調，穩定時間較長；在DMC-P控制下，系統超調較小，但穩定速度最慢.

圖3為不同控制器階躍響應實驗對應的控制器輸出曲線.從圖中的局部放大圖可以看出，HRPC-P控制器的調節速度最快，在500 s內就可完成系統的調整，輸出的變化范圍也較??；PID-P控制器和DMC-P控制器的調節速度都比較緩慢.

圖2 不同控制器的階躍響應輸出

接下來進行變負荷運行實驗，初始負荷為300 MW，設置參考軌跡系統矩陣Ar、Br，考慮到簡化設計以及便于實際應用，在變負荷過程中，參考軌跡系統矩陣的參數保持不變.當t=4 000 s時，負荷為450 MW，當t=8 000 s時，負荷為600 MW，對HRPC-P、PID-P、DMC-P這3種串級控制器的控制效果進行比較，在該仿真實驗中，負荷階躍變化曲線如圖4所示，著重考察狀態突變情況下各控制器的穩定性、快速性及魯棒性.圖5為變負荷運行時不同控制系統的輸出曲線，相應的各控制器輸出曲線如圖6所示.從圖5和圖6可以看出，在起始階躍響應階段，HRPC-P控制系統的輸出表現出了較強的跟蹤性和快速的穩定性.滾動優化的HRPC控制器參數分別為K1(30)=[-0.212 8 -0.001 0 0.030 6]和K2(30)=[0.155 9 0.000 1 0 0](Ki(j)表示第i個控制參數在負荷j下的系統穩態值)，控制器輸出的調節速度也很快.系統穩定后，當負荷兩次發生變化時，HRPC-P控制系統輸出有10%～15%的超調，但衰減率φ都在0.85～0.9之間，滿足熱工系統對控制品質的要求[17](0.75<φ<0.98).HRPC-P控制的穩定速度很快，表現出較強的魯棒性，相應的HRPC-P控制器輸出調節速度也較快，各負荷下HRPC控制器參數穩態值分別為：

圖3 不同控制器的輸出

圖4 負荷變化曲線

圖5 變負荷運行時不同控制系統的輸出曲線

對于PID-P和DMC-P控制，在初始階躍響應階段，若保證與HRPC-P控制有相近的上升速度，那么都會有一定的超調，且達到穩定的時間較長.PID-P控制器的輸出范圍較大，PID-P和DMC-P的調節速度都比較緩慢.系統穩定后，當負荷發生變化時，PID-P和DMC-P控制器的輸出變化依然很慢，這會導致系統調節時間較長.

圖6中，HRPC-P控制器的輸出表現出了一定的周期性振蕩，主要原因有：(1)仿真試驗中的負荷是階躍變化的；(2)負荷變化的跨度偏大，即不同工況下的模型數量不夠多.在這2個因素的作用下，HRPC-P控制為了使輸出更好地逼近期望值，就必須加快控制器的變化速度.但在實際工程中，負荷的變化往往是以一定的速率逐漸變化的，從而使得HRPC-P控制表現出更強的魯棒性，控制器輸出的周期性振蕩也會減小.在實際工程應用中，根據工業過程的情況，需要適當增加不同工況的模型數量，并采用一些適當的方法，在變工況時保證模型的切換更加平穩[18-19]，從而進一步提高HRPC-P的控制效果，也使控制器的輸出更加平穩.

圖6 變負荷運行時不同控制器的輸出曲線

5 結 論

針對火電廠鍋爐蒸汽溫度干擾因素多、干擾頻繁、擾動量大，以及大遲延、大慣性、多模型的特點，在傳統PID-P控制、預測控制和魯棒控制的基礎上，提出了針對過熱汽溫多包線性不確定系統的無記憶狀態反饋HRPC，并設計了無記憶狀態反饋H∞魯棒預測串級控制器.該控制器具有較好的控制品質和跟蹤性能，并具有較強的魯棒性.與PID-P和DMC-P控制器相比，HRPC-P控制器的可行性和有效性更高.更重要的是，HRPC-P控制器減少了控制器優化參數的數量，在工程應用中具有一定優勢.在今后的研究工作中，還需要根據具體機組的情況，采集現場數據，確定建立模型的數量，對控制算法的進一步實際工程應用進行更深入的研究.

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