小學數學圖形與幾何課程內容的演進與思考

20世紀60年代的“新數學”運動，80年代的“回到基礎”運動，導致中小學幾何課程受到削弱。90年代，國際數學教育開始反思幾何教育的價值，幾何的重要地位得到重新確立，并提出了復興幾何教學的口號。如今，我國“圖形與幾何”課程的內容得到進一步拓展，增加了圖形的變換與方位等方面的內容，更加重視學生推理、探究和幾何直觀能力的培養。檢視自新中國成立以來的小學圖形與幾何課程內容的歷史演變過程，總結其特點和變化規律，對于進一步改革小學數學課程的目標、內容，建立科學合理的課程體系具有借鑒和啟示意義。

一、小學圖形與幾何課程內容的演進

新中國成立60多年來，教育部先后頒發了11部小學數學教學大綱（課程標準），其中，圖形與幾何課程內容不斷變化，演變進程主要分以下五個階段：

20世紀50年代。當時中國以蘇聯教學大綱為藍本，在內容體系、結構形式等方面都仿照蘇聯，內容偏少，難度較低。強調實用，注重實地測量和幾何求積。在編排結構上采取先直觀認識簡單圖形，再進一步認識圖形的做法被后來所采納；在前三年學習認數與計算時，雖然廣泛地使用正方形、長方形、三角形、圓、正方體、長方體等作為教學素材，但總體上幾何課程主要安排在四、五年級。

20世紀50年代末至60年代初。在1958年掀起的“大躍進”運動中，教育主管部門否定了學習蘇聯經驗的做法，各地編寫了多種實驗教材，內容革新幅度較大，難度明顯提高，但到了1960年，又開始了反思和調整。課程內容改革主要體現在1963年的大綱（六年制）中，圖形的認識內容明顯增加，同樣重視測量教學，顯示了圖形的認識和測量并重，并重視通過畫圖來認識圖形。在教學目標中首次提出培養空間觀念的要求，開始注意按歐氏幾何概念發展線索建立教學內容的結構體系。

20世紀70年代末至80年代中期。“文革”結束后，教學秩序迅速得到恢復，1978年頒布的教學大綱（五年制）采取“精簡”“增加”“滲透”的措施，繼續按歐氏幾何概念發展線索建立教學內容的結構體系：線→角→面→體。先認識圖形，再學習相關的測量（長度、角度、周長、面積、體積）。在一些抽象概念的教學處理上，注重分階段安排教學，如“角的認識”分兩次進行。增加對稱、扇形的認識和面積計算，以及土石方計算。注重培養空間觀念，加強形與數的結合，滲透數學思想方法。

20世紀80年代中期至20世紀末。國家實行九年義務教育，切實提高全民素質，采取課程教材多樣化措施，實行教材編審分開，其間，先后頒發了三部義務教育大綱，課程內容基本相同，課程彈性有所增強，改課程內容分學期設計為分年級設計。

適當分階段認識圖形，如先直觀認識再進一步認識常見圖形，改變了“一步到位”的編寫方式。幾何內容分散安排，貫穿各個年級。加強測量、拼擺、畫圖等實際操作方面的訓練。三角形內角和、組合圖形、扇形和球列為選學內容。

2001年以來的課程改革。此次改革將幾何課程內容定名為“圖形與幾何”，具體包括：圖形的認識、測量、圖形的運動和圖形與位置四個部分。強調以發展學生的空間觀念、幾何直觀和推理能力為核心，拓展了幾何學習領域（圖形的運動，圖形與位置）。在結構順序上，先直觀認識常見立體圖形與平面圖形（長方體、正方體、圓柱和球，長方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓），再進一步認識常見圖形，并按點→線→角→面→體的邏輯順序編排，貫穿小學各個年級。削減了周長、面積、體積的單純計算，增加實踐性、探索性活動，按照實驗→猜想→驗證→概括的邏輯順序設計內容。

二、小學圖形與幾何課程內容演進的特點

1.不同時期的課程理念和課程目標決定課程內容的取舍。

20世紀50年代，學習幾何主要是為了實際應用，提高幾何應用技能，因而課程內容主要是長度、面積、體積的計算，包括線段的測定和測量、畫圖的技能訓練。60年代提出發展學生空間觀念的要求，形成了培養學生計算能力、邏輯思維能力和空間觀念三大數學能力和解答應用題能力，對圖形特征的認識更為重視，認識的圖形包括：角、平行線和垂線，長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形、圓，以及圓柱、棱柱、圓錐、棱錐，這些內容比50年代明顯增加，基本形成圖形的認識與測量并重的內容體系。80年代至90年代，空間觀念的內涵不斷清晰，目標更加明確，要求“使學生逐步形成簡單幾何形體的形狀、大小和相互位置關系的表象，能夠識別所學的幾何形體，并能根據幾何形體的名稱再現它們的表象，培養初步的空間觀念”。課程內容的知識點變化不大，但在素材選擇和內容安排上，大綱提出“要通過直觀教學和實際操作，引導學生在感性材料的基礎上，理解數學概念，進行簡單的判斷、推理”，“要注意加強測量、拼擺、畫圖等實際操作方面的訓練”。21世紀以來，幾何課程的教學目標，強調以發展學生的空間觀念、幾何直觀、推理能力為核心，增強應用意識，提高實踐能力。依此，課程內容作了較大幅度的調整，在基本保留直觀幾何、度量幾何傳統內容的基礎上，增加了“圖形的運動”“圖形與位置”內容，密切了數學與生活的聯系；削減了單純求周長、面積和體積的內容；變換思想、坐標思想以直觀的形式成為小學數學教學內容；增加了許多生活中的幾何，以體現學習有用的數學的理念。

2.課程內容不斷增加，由注重求積到圖形認識與測量并重，再到增加圖形的運動與方位，更加貼近兒童的生活實際。

新中國成立初期，小學幾何內容以度量幾何為主，注重實際測量和求積，包括實地測量，黑板面、窗口、地面、菜園等面積計算，房間、倉庫、地下室、貯藏室等容積計算。60年代初，以及“文革”結束之后的課程重建，幾何課程內容基本不變，均由圖形認識與幾何測量組成，圖形的認識得到加強。1988年開始實施九年義務教育大綱，內容基本上還是認識圖形和測量兩大部分，但注重直觀操作和聯系兒童實際，并設置了選學內容，如三角形內角和、組合圖形、扇形和球，增加了課程的彈性。進入21世紀，小學幾何課程內容明顯拓展，由圖形的認識、測量、圖形的運動和圖形與位置四個部分組成，最為突出的是圖形的運動、方向和位置進入了小學幾何，與兒童的生活實際聯系更加密切。通過運動、方位來探索圖形的特征和一些性質，有助于發展學生的幾何直觀和空間想象力。

3.內容結構從集中直線式到分散交替式，從注重知識體系到強調實踐應用，體現學科特點和學生的認知規律。

20世紀50年代，幾何內容以獨立單元集中安排在四、五年級，編排過于集中。60年代初至80年代初，在內容結構安排上，基本按歐氏幾何概念發展線索建立教學內容的結構體系：線→角→面→體。先認識圖形，再學習相關的測量（長度、角度、周長、面積、體積），采取直線式編排方式，并集中在中高年級。80年代以后，人們認識到小學生學習幾何不是以幾何公理體系為基礎，而是以生活經驗為基礎的，基本的幾何概念學習宜于從現實生活材料中進行抽象概括，基本規律的探索應基于解決實際問題的需要。小學生的生活實踐告訴我們，他們形成幾何概念時，最先感受到的是空間物體，點、線、面的認識必須以空間物體為依托，因此，小學生在認識圖形時宜從簡單的幾何體出發。1984年8月，在澳大利亞阿得雷德市召開的第五屆國際數學教育會議上，關于幾何教學，大會也特別提出：“要提供能夠吸引學生的教學材料，應把三維的教學材料放在二維的教學材料之前。”因此，自1988年以來，小學教材一般是讓學生先直觀認識簡單的幾何體和常見的平面圖形，然后再進一步學習，即采取“三維、二維、一維”到“一維、二維、三維”的交替式安排，并且將幾何內容分散在各個年級。圖形認識的要求由辨認（直觀認識階段）→認識（概念學習階段）→探索證明（主要在中學階段），體現思維的不斷深化，具有層次性，改變了“一步到位”的結構方式。內容呈現更多地結合現實情境，讓學生體會到數學源于生活，服務于生活，對于解決問題、增長智慧有不可替代的作用。

三、對小學圖形與幾何課程內容的進一步思考

新世紀以來，小學圖形與幾何課程如何深化改革，仍然是值得探討的問題。

1.小學應該開設什么樣的幾何課程。

幾何學的發展歷史告訴我們，人們認識幾何是從直觀幾何（實驗幾何）開始的。人們最初想到用簡單的幾何圖形去做裝飾工藝品，去構造建筑物；隨后由于土地測量等計算的需要，又產生了度量幾何，如：測量長度、面積、體積等。隨著人類文明的發展，幾何學作為一門科學誕生，其成果主要反映在大約公元前300年歐幾里得《幾何原本》中。此時的幾何特征是概念性的。隨后，由于透視畫的出現誕生了射影幾何，幾何與代數的融合誕生了解析幾何，數學分析運用于幾何產生了微分幾何，特別是由于《幾何原本》中第五公設的研究，產生了非歐幾何，幾何學的不斷發展，使得研究幾何圖形在連續變形下保持不變性質（形象地說就是允許伸縮、扭曲，但不許割斷、粘合）的拓撲學成了獨立的數學分支，人們已經認識到幾何的多樣性。但是，哪些能夠進入到中小學？有學者認為：學校教育的早期，教學歐氏幾何是重要的，應該鼓勵學生去研究簡單的幾何圖形，并探索這些圖形的性質。歐氏幾何建立了一種最簡單、最直觀、最能為小學生所接受的數學模型，讓學生利用這樣的模型去思考、去探索，可以使學生體驗到數學推理的力量。當然，低年級接近歐氏幾何的方式必須是非形式的和解釋性的，而把系統化留給較高年級。幾何學有區別于其他數學的特點，現代幾何中有許多問題是小學生能夠理解的，比如，哥尼斯堡七橋問題、一筆畫問題、麥比烏斯帶問題、英國數學家哈密頓提出的“旅行世界”問題等。這些問題并非歐氏幾何中的問題，也無須要求學生了解相應幾何領域的概念系統，但它對于培養學習興趣，發展學生的空間觀念和推理能力都很有幫助。

小學幾何課程應更多地聯系生活實際，向學生展示幾何在生活和生產實踐中的應用，并且告知這些應用會影響他們的生活。本次課程改革強調幾何變換，是指導思想上的變化，讓圖形“動起來”，在“運動和變換”中來研究和揭示圖形的性質。這可以加深對圖形性質的本質理解，也可以提升學生的幾何直觀能力。在小學，幾何屬性的數量表示也是值得關注的領域。我們已經看到，用代數的方法研究幾何具有重要的教育價值，現行中學教材中引進向量幾何的成功做法就是很好的說明。在小學適當滲透坐標思想，用數對或者方向與距離表示位置都是學生能夠理解運用的知識，也是數形結合思想的體現。

2.嚴謹性與學生可接受性相結合。

小學數學中的幾何與作為數學科學中的幾何存在明顯差異。數學科學中的幾何有完整的知識體系，有嚴密的邏輯體系，屬于論證幾何的性質，其中任何一部分的知識都能在這個體系中找到它存在的確定性。小學數學中的幾何屬于數學教育的內容，呈現的是數學的教育形態，是幾何學中最基礎的、經過教學法加工的、適合于小學生學習的課程內容。歷史地看，幾何內容有如下幾個特征：直觀的、計算的、概念的、代數的、功利的、實用的。在設計小學課程時必須作出選擇。我們認為，小學幾何應凸顯其直觀性。內容呈現要強調情境設置，體現從生活到數學、由直觀到抽象的特點。比如，學生認識角時，通常總是讓學生先觀察鐘面上時針和分針，剪刀的刀口、紙扇的兩邊等，抽象得到形狀不同的角，再進一步分析角所具有的特征：一個頂點兩條邊。

小學數學教材既要根植于兒童的生活實際，又要言之有據，形成循序漸進、互相連接的邏輯框架。經驗表明，小學生學習幾何不可能跳過早期的直覺階段，而把幾何局限于形式的、代數的特征之中。對幾何事實、概念的全面理解，應采取螺旋上升的方式，在不同水平上對同一課題進行教學。現行小學幾何教材讓學生先直觀認識簡單的幾何形體，再進一步學習的循環式、交替式安排，符合學生的認識規律。不過，圖形概念的建立應堅持科學性，注意低、高年級之間，以及小學與中學之間的相互銜接。數學家蘇步青認為，中小學數學教材編寫要堅持“混而不錯”的原則，從而保持一定的邏輯嚴謹性。現行小學數學教材中用行駛的火車、景區的纜車作為平移的事例，以拖拉機的車輪印、運動場上的雙杠作為平行直線的例子就容易產生誤解。火車是要拐彎的，纜車能沿直線行走嗎？拖拉機的車輪印雖間距相等但它不一定總沿直線行駛，雙杠給人以兩條線段的印象，作為平行直線還是要超越經驗，想象成無限延長而不相交的兩條直線。

3．重視視覺直觀與動作直觀的運用。

心理學研究表明，小學生對圖形的認識，形成和發展空間觀念要依靠直觀教學手段。這種直觀手段主要有視覺直觀和動作直觀兩種。

視覺直觀。視覺直觀就是觀察，是一種積極的感知活動。小學生的觀察要遵循：從感知強刺激成分到感知弱刺激成分；從認識單一要素到認識要素之間的關系。比如：認識長方體時，應依面、頂點、棱的順序展開，逐步認識長方體的三個要素；在呈現要素之間關系的時候，要依次分別探討面與面、面與棱、棱與棱之間的關系。認識圖形時，還要注意從感知標準圖形到感知變式圖形，比如：當我們從肯定例證中抽象出平行線后，要讓學生觀察非水平或非豎直方向兩直線平行的變式圖形，觀察畫出的兩條不一樣長的平行線等，進行辨別，說明理由，以凸顯平行線的本質屬性。

動作直觀。主要有兩種：操作實驗和畫圖。操作實驗包括圖形的折疊、拼擺、割補、測量、制作等。需要視覺、觸覺、運動覺的協同活動，在不同年級都會得到廣泛應用，是發展空間觀念的有效手段。根據皮亞杰的研究，學生動手畫圖可以反映學生對幾何概念的理解。比如，過兩點畫線段，可以讓學生感受線段的特征：直的、有兩個端點、可測量長度；過直線外一點，畫已知直線的平行線、垂線、垂線段，可以促進學生體會平行公理、垂線的唯一性，垂線段最短等性質；用圓規畫圓，可以讓學生感受圓的特征：有一個圓心、半徑都相等。

在幾何教學中，量一量、比一比是獲得數量及其關系認識的實驗方法，操作說理是獲得數學知識的直觀方法，演繹推理則是給出數學規律的邏輯方法。小學幾何知識的學習以直觀實驗為主，但也要將合情推理與論證推理相結合，循序漸進地培養學生的推理能力。