有色噪聲條件下的卡爾曼濾波

陳 方，吳小役，劉文逸，劉 芳

（西北機(jī)電工程研究所 第六研究室，陜西 咸陽712099）

卡爾曼（Kalman）濾波技術(shù)［1］誕生于20世紀(jì)60年代，是現(xiàn)代控制理論發(fā)展過程中產(chǎn)生的一種最優(yōu)估計(jì)技術(shù)，是在動(dòng)態(tài)噪聲和觀測噪聲均為白噪聲條件下推導(dǎo)出來的。其核心思想［2］是根據(jù)當(dāng)前數(shù)據(jù)和前一時(shí)刻的諸量估計(jì)值，依據(jù)遞推公式，計(jì)算出新的諸量估計(jì)值?？柭鼮V波實(shí)際是對(duì)隨時(shí)間變化的參數(shù)估計(jì)的一種順序最小二乘逼近，特別適用于動(dòng)態(tài)測量。

目前，卡爾曼濾波技術(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用在導(dǎo)航，數(shù)據(jù)融合技術(shù)，控制技術(shù)等領(lǐng)域，特別是在計(jì)算機(jī)圖像處理方面，臉部識(shí)別，圖像邊緣處理中大都采用卡爾曼濾波技術(shù)［3］。而在實(shí)際工程當(dāng)中，經(jīng)常會(huì)遇到有色噪聲。對(duì)于卡爾曼濾波，需要同時(shí)考慮有色動(dòng)態(tài)噪聲和有色觀測噪聲的雙重影響?，F(xiàn)有的處理方法，大都是采用白噪聲驅(qū)動(dòng)下的有色卡爾曼濾波技術(shù)，就是將有色噪聲進(jìn)行白化處理，即表達(dá)成白噪聲函數(shù)［4］，再進(jìn)行濾波?；蛘咄ㄟ^差分、差分組合或加大采樣間隔的方法來消除或減弱動(dòng)態(tài)序列的有色噪聲影響，若要減弱有色觀測噪聲，采用增廣狀態(tài)方程，即將有色噪聲作為模型狀態(tài)參數(shù)，與更正的狀態(tài)參數(shù)一起求解［5－6］。這樣也很難消除有色噪聲的影響，還可能會(huì)造成濾波發(fā)散或者結(jié)果失真。

在卡爾曼濾波基本方程的基礎(chǔ)上，通過增加計(jì)算噪聲相鄰歷元間的協(xié)方差，利用線性變化，推導(dǎo)出了有色噪聲條件下的卡爾曼濾波方程，最后通過Matlab仿真進(jìn)行驗(yàn)證。

1 卡爾曼濾波技術(shù)及有色噪聲

卡爾曼濾波技術(shù)的原理是考慮一個(gè)隨時(shí)間變化的參數(shù)向量（即狀態(tài)向量），通過一個(gè)線性系統(tǒng)（即觀測方程），可以測得一組在不同時(shí)刻下與參數(shù)相對(duì)應(yīng)的參數(shù)值。如果能夠建立一個(gè)參數(shù)的確定性和不確定性隨時(shí)間變化的模型（即系統(tǒng)模型），卡爾曼濾波就可以在任何時(shí)刻下對(duì)狀態(tài)矢量進(jìn)行估計(jì)，而且，它對(duì)狀態(tài)矢量的估計(jì)是無偏的，方差最小的。

線性隨機(jī)系統(tǒng)［1］

式中xk＋1為k＋1時(shí)刻的狀態(tài)向量，νk為k時(shí)刻系統(tǒng)觀測量。Ak、Γk和Ck分別是n×n、n×p、q×n已知常值矩陣，且1≤p，q≤n?；诔跏紬l件E（x0）和D（x0），xk的線性無偏最小方差估計(jì)

式中

且｛βk｝和｛γk｝是不相關(guān)的零均值高斯白噪聲序列，滿足

其中Mk－1和Nk－1為已知的p×p和q×q常值矩陣。若噪聲序列｛εk｝和｛ηk｝滿足上述條件，則稱為有色噪聲過程［1］。

2 有色動(dòng)態(tài)噪聲的處理

卡爾曼濾波是基于系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型和觀測序列來求解狀態(tài)向量估計(jì)的算法，其函數(shù)模型和隨機(jī)模型為［1］

已知

其中Xk為k時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)，Ak為系統(tǒng)參數(shù)陣，Γk為噪聲驅(qū)動(dòng)陣，εk為動(dòng)態(tài)噪聲，Vk為k時(shí)刻實(shí)際量測值，Ck為量測系統(tǒng)參數(shù)陣，ηk為觀測噪聲。

卡爾曼濾波基本方程［1］

式中

在方程中，εk和ηk為互不相關(guān)均值為零的白噪聲。是濾波估計(jì)值，是一步預(yù)測量，PXk是協(xié)方差更新矩陣，PXk，k－1是一步預(yù)測協(xié)方差矩陣，Gk是狀態(tài)增益陣。

若動(dòng)態(tài)噪聲εk和εj的協(xié)方差不等于零，則εk、ε2、…、εn為有色噪聲序列?？紤]動(dòng)態(tài)噪聲εk與相鄰歷元噪聲εk－1、εk＋1相關(guān)，不相鄰的歷元噪聲不相關(guān)，則動(dòng)態(tài)噪聲的協(xié)方差矩陣為分塊三對(duì)角矩陣

其中a1，a2，…，an－1為相鄰歷元?jiǎng)討B(tài)噪聲間協(xié)方差值。

假設(shè)卡爾曼濾波基本方程初始狀態(tài)

且X0與｛εk｝，｛ηk｝都不相關(guān)。測量k－1次后，可得到的估計(jì)值，根據(jù)動(dòng)態(tài)方程可以預(yù)測第k次計(jì)算的狀態(tài)值。因?yàn)镋（εk）＝0，則的一步預(yù)測合理值為

假設(shè)

式（4）兩邊減去Xk即

可得

則有

由于

則式（7）中

有色噪聲濾波公式就化為白噪聲條件下的卡爾曼濾波公式。因此可以認(rèn)為，動(dòng)態(tài)噪聲為白噪聲條件下的卡爾曼濾波是動(dòng)態(tài)噪聲為有色噪聲條件下卡爾曼濾波的特殊情況。

3 有色觀測噪聲的處理

如果觀測噪聲的協(xié)方差不為零，則觀測噪聲為有色噪聲序列，假設(shè)卡爾曼濾波的觀測方程為［7］

其中Vk為k時(shí)刻實(shí)際量測值，Ck為量測系統(tǒng)參數(shù)陣，ηk為觀測噪聲。

對(duì)于觀測噪聲為有色噪聲的卡爾曼濾波，假設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)噪聲和觀測噪聲均值為零，互不相關(guān)，動(dòng)態(tài)噪聲εk為高斯白噪聲，ηk為有色噪聲序列，因而與ηk相關(guān)，由式（3）可得其協(xié)方差為［8］

PXk，k－1ηk為k時(shí)刻下一步預(yù)測量與觀測噪聲間協(xié)方差。

考慮到相鄰歷元觀測噪聲相關(guān)的卡爾曼濾波公式為［9］

若設(shè)

則式（12）可以化簡為

在式（11）中，當(dāng)觀測噪聲為白噪聲時(shí)，有

于是

此時(shí)，方程式退化為白噪聲條件下的卡爾曼濾波公式?？梢姡^測噪聲為白噪聲條件下的卡爾曼濾波是觀測噪聲為有色噪聲條件下卡爾曼濾波的特殊情況。

結(jié)合上面兩種方法，就可以得到在動(dòng)態(tài)噪聲和觀測噪聲都是有色噪聲情況下的處理方法，即有色噪聲條件下的卡爾曼濾波。

4 仿真分析

利用Matlab軟件進(jìn)行仿真。給定周期為150s，幅值為1的正弦信號(hào)s作為系統(tǒng)輸入信號(hào)，假設(shè)系統(tǒng)參數(shù)陣Ak、噪聲驅(qū)動(dòng)陣Γk、量測系統(tǒng)參數(shù)陣Ck均為1階單陣，在動(dòng)態(tài)噪聲和觀測噪聲均為均勻白噪聲和有色噪聲的兩種情況下，分別利用傳統(tǒng)卡爾曼濾波和本文推導(dǎo)的有色噪聲條件下相鄰歷元噪聲相關(guān)的卡爾曼濾波方法進(jìn)行濾波處理，并在同一個(gè)界面中，對(duì)相同信號(hào)的兩種處理結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。仿真結(jié)果分別如圖1，圖2所示。

圖1 白噪聲作用下的卡爾曼濾波

圖2 有色噪聲作用下的卡爾曼濾波

在圖1和圖2中，第一條曲線為輸入的正弦信號(hào)；第二條曲線為疊加了噪聲后的正弦信號(hào)，第三條曲線為利用傳統(tǒng)卡爾曼濾波方法處理后的效果；第四條曲線為利用有色噪聲條件下卡爾曼濾波方法處理后的效果。其中圖1是對(duì)疊加了均勻白噪聲的正弦信號(hào)進(jìn)行的兩種卡爾曼濾波處理，圖2是對(duì)疊加了有色噪聲的正弦信號(hào)進(jìn)行的兩種卡爾曼濾波處理。

由圖1可以看出，當(dāng)噪聲信號(hào)為白噪聲時(shí)，由于白噪聲相鄰歷元之間無相關(guān)性，則傳統(tǒng)的卡爾曼濾波與有色噪聲條件下卡爾曼濾波對(duì)信號(hào)的處理效果相同，證實(shí)了當(dāng)噪聲信號(hào)為白噪聲時(shí)，有色噪聲條件下的卡爾曼濾波公式退化為白噪聲條件下的卡爾曼濾波公式。

由圖2中可以看出，當(dāng)噪聲信號(hào)為有色噪聲時(shí)，利用傳統(tǒng)卡爾曼濾波的方法，將有色噪聲當(dāng)作白噪聲來處理，處理結(jié)果誤差較大，效果不理想，而利用有色噪聲條件下的卡爾曼濾波方法，處理后的信號(hào)曲線更為平滑，誤差減少?？梢姡ㄟ^對(duì)同一信號(hào)疊加不同噪聲，再對(duì)比兩種卡爾曼濾波方法處理的結(jié)果，證實(shí)了白噪聲條件下的卡爾曼濾波是有色噪聲條件下卡爾曼濾波的特殊情況，并且有色噪聲條件下的卡爾曼濾波方法優(yōu)于傳統(tǒng)的卡爾曼濾波方法，對(duì)噪聲的處理效果更佳。

5 結(jié)論

依據(jù)有色噪聲相鄰歷元間噪聲相關(guān)的特點(diǎn)，推導(dǎo)出了有色噪聲條件下的卡爾曼濾波方程，通過仿真實(shí)驗(yàn)，證明改進(jìn)的方法可以減小計(jì)算誤差，有效避免濾波發(fā)散和結(jié)果失真，對(duì)于處理有色噪聲信號(hào)，效果更佳。

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