“雞兔同籠”問題多種解決方法的課前思考

王相春

[摘 要]對(duì)于“雞兔同籠”問題，不同的教材給出了不同的解決方法。通過分析四個(gè)解決“雞兔同籠”問題的基本方法，即畫圖法、嘗試與猜測法、列表枚舉法、假設(shè)法，找出這幾種方法的聯(lián)系與區(qū)別，得出畫圖、嘗試與猜測、列表枚舉是滲透“假設(shè)”這種思想方法的途徑，教師應(yīng)運(yùn)用這幾種方法幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

[關(guān)鍵詞]雞兔同籠；畫圖法；嘗試與猜測法；列表枚舉法；假設(shè)法

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2017）35-0020-02

“雞兔同籠”是我國1500年前數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載的一道數(shù)學(xué)趣題。通過這樣一道數(shù)學(xué)趣題，可讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的探究過程，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性和靈活性，從中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，感悟“假設(shè)”等數(shù)學(xué)思想方法，并通過類似的情境感悟其中共同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即數(shù)學(xué)模型。

“雞兔同籠”是人教版教材《數(shù)學(xué)廣角》中的一個(gè)內(nèi)容，原編在第十一冊，現(xiàn)編在第八冊，它在北師大版、浙教版、西南師大版等教材中都有編排，只不過編排在不同的年級(jí)內(nèi)容里。不同的年級(jí)對(duì)于解決“雞兔同籠”問題的方法及其側(cè)重點(diǎn)是不同的，如人教版教材安排“嘗試、列表枚舉和假設(shè)法”等解決方法，浙教版教材則給出“圖示、不同的列表枚舉”等解決方法，而北師大版教材則出現(xiàn)“嘗試猜測、一一枚舉和跳躍枚舉”等解決方法。除了上述解決問題的方法之外，有的教材還增加了“方程”的解決方法。

眾所周知，選擇解決問題的方法讓學(xué)生學(xué)習(xí)和體驗(yàn)，要考慮學(xué)生的年齡特點(diǎn)、已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和理解水平。每一種方法各有各的解題思路，各有各的特點(diǎn)，這些方法也不是孤立存在的，它們之間存在著一定的聯(lián)系。因此，解決問題的方法既要“求變、求理解”，也要“求聯(lián)系”。當(dāng)然，切忌揠苗助長，不管學(xué)生理解與否，各種方法都進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生全盤接受是教學(xué)之大忌。

解決“雞兔同籠”問題的方法比較多，本文以人教版教材第八冊的內(nèi)容為例，試著對(duì)常見的解決問題的方法，如畫圖、列表、假設(shè)等，進(jìn)行課前思考與分析。

一、畫圖法

人教版教材沒有出現(xiàn)畫圖法，但是給出的假設(shè)法對(duì)于四年級(jí)學(xué)生來說還是比較抽象的。因?yàn)榇藭r(shí)的學(xué)生還處于具體運(yùn)算階段，邏輯思維能力還比較弱，尚不能完全脫離實(shí)物憑空地進(jìn)行邏輯思考，形象思維要強(qiáng)于抽象思維。畫圖法對(duì)于理解數(shù)學(xué)事實(shí)或現(xiàn)實(shí)情境中的數(shù)量關(guān)系來說，具體而形象，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的一種數(shù)學(xué)語言。因此，在教學(xué)“雞兔同籠”時(shí)，畫圖法被廣泛采用，它既可以當(dāng)成獨(dú)立的解法，也可以當(dāng)成輔助理解數(shù)量關(guān)系的必要手段。

用“O”表示頭，用“”表示雞的數(shù)量特征，即有一個(gè)頭兩只腳，用“”表示兔的數(shù)量特征，即有一個(gè)頭四只腳。此時(shí)雞和兔的外在屬性被忽略了，只留下了表示數(shù)量特征的抽象符號(hào)。然而，學(xué)生在用這種抽象符號(hào)來解決“從頭開始數(shù)，有8個(gè)頭，從下面數(shù)，共有26只腳。雞和兔各有多少只？”時(shí)，呈現(xiàn)出來的能力水平也是不同的：

一種是沒有思路的，隨便畫，畫時(shí)沒有注意到題目中的條件，如“”，畫了9個(gè)頭；

又如“”，輪流畫一只雞一只兔，腳的總只數(shù)卻不對(duì)；

還有就是先畫8個(gè)頭，如“”，再給每個(gè)頭添上兩只腳“”，最后添成26只腳，如“”。

當(dāng)然，有些學(xué)生能根據(jù)題目中的條件邊畫邊調(diào)整，如“”，腳多了，劃掉兩只腳。又如“”，先畫8只兔，發(fā)現(xiàn)腳的只數(shù)不對(duì)，就去掉3只兔，改成3只雞。

看來，用畫圖法來解決問題，大部分學(xué)生都需要教師的指導(dǎo)，或者讓會(huì)畫的學(xué)生來展示他們的畫法，其余的學(xué)生從中學(xué)會(huì)畫圖。

不同的學(xué)生可以接受與其發(fā)展水平相適應(yīng)的方式。用圖形來表征數(shù)量及其數(shù)量關(guān)系，具體且形象，是一種比較恰當(dāng)?shù)慕鉀Q問題的方法。當(dāng)然，在用這種方法解決數(shù)據(jù)比較大的“雞兔同籠”問題時(shí)，或者是其他類似問題時(shí)，也是有局限性的。

二、嘗試與猜測法

“嘗試”在這里指的是一種行為、一種活動(dòng)、一種精神，也是一種挑戰(zhàn)。“猜測”在這里指的是猜度，憑某些線索推斷猜度。猜測是數(shù)學(xué)思維中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，它往往是一種直覺思維，對(duì)題目沒有進(jìn)行逐步分析，而是根據(jù)知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)題中的一些線索，迅速得出問題的答案。在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，嘗試與猜測必不可少，既在嘗試中猜測，也需要在猜測中嘗試。

對(duì)于“雞兔同籠”問題，可以讓學(xué)生先根據(jù)題目中的條件，如8個(gè)頭、26只腳，進(jìn)行嘗試與猜測，然后根據(jù)猜測的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，如果得出的結(jié)果與答案不符合，再繼續(xù)猜測、嘗試與調(diào)整。根據(jù)課堂觀察，學(xué)生往往用“假如（或如果）雞幾只、兔幾只，腳的只數(shù)是多少”來表達(dá)他們得到的結(jié)論。根據(jù)學(xué)生的表達(dá)，教師可以把“嘗試與猜測”分成“無序嘗試與猜測”和“有序嘗試與猜測”。“無序嘗試與猜測”往往被視作一種“亂猜”行為，根據(jù)“8個(gè)頭”，迅速做出一種直覺判斷，好像雞有3只，兔有5只，然后對(duì)腳的只數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，如果不是，則馬上調(diào)整雞與兔的只數(shù)。“有序嘗試與猜測”則是根據(jù)“8個(gè)頭”這個(gè)條件，從1只雞7只兔、2只雞6只兔……依次從小到大或從大到小進(jìn)行有序思考，或者從中間（即4只雞4只兔）向兩邊遞增或遞減進(jìn)行猜測與嘗試，然后逐一進(jìn)行驗(yàn)證，如果不是，則進(jìn)行調(diào)整。

從調(diào)整的思路來看，也可以分成盲目性（隨意性）調(diào)整、思考性調(diào)整、快速調(diào)整等。盲目性調(diào)整，是指學(xué)生猜測有2只雞6只兔，驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)共有28只腳時(shí)，卻不知把雞的只數(shù)調(diào)大還是調(diào)小而出現(xiàn)的盲目情況。思考性調(diào)整，是指學(xué)生在驗(yàn)證后，發(fā)現(xiàn)腳多了或腳少了，就知道是把雞換成兔還是把兔換成雞。快速調(diào)整是在思考的情況下，發(fā)現(xiàn)了腳增多或腳減少的規(guī)律，從而快速地找到準(zhǔn)確的答案，沒有依次地進(jìn)行逐步調(diào)整。

嘗試著猜測，或者猜測下進(jìn)行嘗試，都是一種非常好的數(shù)學(xué)思考方法與行為，應(yīng)該給予支持與鼓勵(lì)。猜測是一種創(chuàng)造性的思維方式，數(shù)學(xué)中那些精辟的結(jié)論、定理的得出，都離不開猜測，教師要鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜測，大膽地進(jìn)行嘗試。endprint

三、列表枚舉法

各種版本教材給出的“雞兔同籠”問題的解決方法中都出現(xiàn)了“枚舉法”：用表格的形式一一記載所有答案，從中找到準(zhǔn)確的答案。這種方法是根據(jù)題目中的一個(gè)條件，如共有8個(gè)頭，把雞（或兔）的只數(shù)逐個(gè)遞增或遞減，一一計(jì)算出腳的只數(shù)，從中找到答案。當(dāng)然，用這種一一枚舉的方法也要考慮極值的現(xiàn)象，如雞0只兔8只或雞8只兔0只的情況（這種情況學(xué)生往往不能理解，他們以為共有8只，不會(huì)出現(xiàn)0只的情況）。用一一枚舉的方法雖然說能夠找到正確的答案，但也比較費(fèi)時(shí)。

與“一一枚舉”相對(duì)應(yīng)的是“跳躍式枚舉”，“跳躍式枚舉”是“一一枚舉”的“增強(qiáng)版”，也是一種“假設(shè)法”思路的“提前版”。“跳躍式枚舉”這種方法往往需要在一一枚舉時(shí)，邊列邊思考，從數(shù)據(jù)變化中發(fā)現(xiàn)其蘊(yùn)含的規(guī)律。如1只雞換成1只兔，腳就會(huì)增加2只，或者說要想腳的只數(shù)增加，需要把雞換成兔，想腳的只數(shù)減少，需要把兔換成雞，從而快速地找到正確的答案。

因而，我覺得在解決“雞兔同籠”問題時(shí)，在一一枚舉的基礎(chǔ)上，非常有必要進(jìn)行跳躍式枚舉的教學(xué)，讓學(xué)生感悟這種思維策略，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為理解用假設(shè)法解決問題打好基礎(chǔ)。

四、假設(shè)法

假設(shè)法，就是根據(jù)題目中的已知條件或結(jié)論做出某種假設(shè)，并以此為條件進(jìn)行推理，以求出原題的答案。它是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用。因而，有必要讓學(xué)生理解和應(yīng)用這種方法解決問題。

假設(shè)“全部是雞”或“全部是兔”的解題方法，對(duì)于學(xué)生來說還是比較抽象的，學(xué)生難以理解。假設(shè)法解題一般來說分成以下幾步；一是假設(shè)全部是雞或全部是兔；二是根據(jù)“全部是雞”或“全部是兔”求出腳的只數(shù)；三是求出的只數(shù)與實(shí)際的只數(shù)進(jìn)行相減，找出差距；四是算出一只兔與雞的腳數(shù)之差；五是用包含除的方法求出結(jié)果，這個(gè)結(jié)果是雞或兔的只數(shù)；六是求出另一類量的只數(shù)。對(duì)于學(xué)生來說，假設(shè)“全部是雞”或“全部是兔”，既有可以理解的地方，也有不可以理解的范圍。不可以理解的是“雞兔同籠怎么會(huì)全部是雞呢？”可以理解的是“假設(shè)全部是雞或全部是兔，計(jì)算比較簡單”。其中“4-2=2（只）”這一步是學(xué)生最難理解的，學(xué)生往往將其理解為是雞的腳，實(shí)際上這是雞兔互換的腳數(shù)差。對(duì)于包含除求出來的是雞的只數(shù)還是兔的只數(shù)，學(xué)生往往不明白或者說經(jīng)常產(chǎn)生錯(cuò)誤，因而有些教師在教學(xué)時(shí)，常常讓學(xué)生死記“假設(shè)雞先求出兔，或者假設(shè)兔先求出雞”這個(gè)結(jié)論。因此，要把上述的幾步列為教學(xué)的難點(diǎn)，通過一些方法讓學(xué)生理解每一步算式。

畫圖法、嘗試與猜測法、列表枚舉法、假設(shè)法這幾種方法之間有什么聯(lián)系與區(qū)別嗎？顯然，它們之間是有緊密聯(lián)系的，至少本質(zhì)上是一致的，都是假設(shè)法的不同體現(xiàn)。畫圖需要假設(shè)，嘗試與猜測實(shí)際上也是假設(shè)，列表枚舉也脫離不了假設(shè)。每一種方法都是“假設(shè)—驗(yàn)證—調(diào)整”這樣一種循環(huán)往復(fù)的思維過程，都是從簡單操作的層面過渡到算式理解的層面，從操作的復(fù)雜化到列式的簡單化，從前方法的局限性到后方法的適用性，從思維的低層次向高層次邁進(jìn)，從形象具體到逐步抽象的過程。

因此，對(duì)于人教版教材四年級(jí)下冊的“雞兔同籠”問題，教師在教學(xué)時(shí)要舍得花時(shí)間，拓寬解題方法，把每一種方法上扎實(shí)、重落實(shí)，強(qiáng)化每一種方法之間的聯(lián)系：如從畫圖得出答案，讓學(xué)生嘗試用算式表達(dá)思維過程；從跳躍式枚舉中找到答案，讓學(xué)生嘗試用算式表達(dá)思維過程；用假設(shè)法列出的算式表達(dá)，讓學(xué)生用畫圖法來理解每一步算式的意義，使理解變得更深刻。

（責(zé)編 金 鈴）endprint