水平井雙封隔器管柱力學分析

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(西安石油大學 機械工程學院，西安 710065)

在分層注水和分層壓裂等油田增產措施中，井下管柱需要連接多個封隔器以實現油氣井分段分層[1]。由于封隔器坐封工藝的影響，井下封隔器坐封時會使管柱發生變形。這種變形被封隔器約束后會轉化為管柱的軸向應力，嚴重時會影響管柱的強度。為了確保井下管柱及后面下入的井下工具在井下作業中的安全性，有必要從理論上分析和了解初始狀態下，封隔器坐封前后對管柱受力和長度的影響。

20世紀60年代，Lubinski[2]首次對帶有單封隔器的管柱進行了受力和變形分析，他運用胡克定律和管柱螺旋屈曲理論研究了單封隔器管柱在4種效應下的軸向變形；20世紀80年代，Hammerlindl[3-4]進一步研究了雙封隔器管柱的受力及變形問題；2001年，李欽道[5-6]等人對單封隔器管柱受力與變形進行了系統性的分析討論。之后還有許多國內外專家和學者對封隔器管柱進行了研究。但是，他們大部分只以直井中的封隔器管柱以及插管式封隔器為研究對象，研究內容比較單一[7-10]。2014年，呂占國[11]以水平井封隔器管柱及水力壓縮式封隔器為研究對象，對多封隔器管柱進行了力學分析，但是，他只研究了各個封隔器坐封時對管柱受力及變形的影響，而忽略了各個封隔器之間的相互作用。本文以水平井雙封隔器管柱及水力壓縮式封隔器為研究對象，綜合考慮各個封隔器坐封時對管柱受力及變形以及對其余已經坐封的封隔器的影響，推導了在井口壓力的作用下，封隔器對管柱的軸向力、軸向應力計算公式，以及在沒有封隔器約束時管柱的變形量計算公式。

1 研究對象和基本假設

本文以水平井雙封隔器管柱、水力壓縮式封隔器及單一尺寸管柱為研究對象，所做的基本假設有：

1) 井內充滿液體。

2) 不考慮流體摩阻影響。

3) 不考慮封隔器管柱自重力影響。

4) 不考慮水平段管柱屈曲變形影響。

5) 封隔器坐封時采用逐級逐次投球加壓的方式。

水平井雙封隔器管柱結構如圖1所示。從靠近井底的封隔器往左依次編號，分別為封隔器Ⅰ、封隔器Ⅱ。彎曲段末端到封隔器Ⅰ的管柱長度為L；封隔器Ⅰ、Ⅱ之間的管柱長度為L1，為第1段管柱；封隔器Ⅱ到彎曲段末端的管柱長度為L2，為第2段管柱。h為井口到水平段管柱的垂深。

圖1 水平井雙封隔器管柱示意

2 封隔器Ⅰ坐封時管柱力學分析

當封隔器Ⅰ坐封時，從井口投入1個直徑較小的鋼球，落入封隔器Ⅰ的球座上，然后在井口施加壓力p1。由拉梅公式可知，井口壓力將會引起水平段管柱徑向應力和環向應力[12]：

(1)

(2)

式中：p1i為井口壓力p1引起的井底管柱內壓，MPa，p1i=p1+ρigh，ρi為管柱內液體密度，kg/m3；h為水平井垂深，m；po為井底管柱外壓，MPa；D為管柱外徑，m；d為管柱內徑，m；di為管柱橫截面中任一點直徑，m。

在上述兩個應力的作用下管柱會產生徑向變形，從而會使管柱產生軸向變形。根據廣義胡克定律，水平段管柱的軸向應變為[13]：

(3)

式中：E為管柱的彈性模量，MPa；μ為管柱的泊松比，一般取μ=0.3；σ1z為水平段管柱的軸向應力，MPa。

則水平段管柱的軸向變形為：

(4)

假設水平段管柱沒有封隔器Ⅰ的約束，即管柱不受軸向力作用時，管柱會發生自由變形，此時管柱的軸向應力σ1z=0。

由式(4)得水平段管柱的軸向變形為：

(5)

由于水平段管柱兩端受到彎曲段摩阻和封隔器Ⅰ的約束，所以水平段管柱的軸向變形將會被限制，從而使封隔器Ⅰ對管柱作用1個軸向約束力。這個約束力使管柱的變形量為0，即ΔL=0。

由式(4)得水平段管柱的軸向應力為：

(6)

相應的軸向力為：

(7)

式中：As為管柱的橫截面積，m2。

3 封隔器Ⅱ坐封時管柱力學分析

當封隔器Ⅱ坐封時，從井口投入一個直徑較大的鋼球落入封隔器Ⅱ的球座上，然后在井口施加壓力p2，同樣，井口壓力將會引起第2段長為L2的管柱徑向應力σ2r和環向應力σ2θ。

在上述2個應力的作用下，第2段管柱會產生徑向變形，從而會使管柱產生軸向變形。根據廣義胡克定律，第2段管柱的軸向應變為：

(8)

式中：σ2z為第2段管柱的軸向應力，MPa。

則第2段管柱的軸向變形為：

(9)

由于第2段管柱兩端受到彎曲段摩阻和封隔器Ⅱ的約束，所以管柱的軸向變形將會被限制，從而使封隔器Ⅱ對管柱作用1個軸向約束力。這個約束力使第2段管柱的變形量為0，即ΔL2=0。

由式(9)得第2段管柱的軸向應力為：

(10)

式中：p2i為井口壓力p2引起的井底管柱內壓，MPa，p2i=p2+ρigh。

相應的軸向力為：

(11)

現將水平段封隔器管柱簡化為簡支梁，如圖2所示。圖2中，從左到右第1個約束為彎曲段摩阻對管柱的約束，第2個約束為封隔器Ⅱ對管柱的約束，第3個約束為封隔器Ⅰ對管柱的約束。

圖2 水平段封隔器管柱簡化示意

假設去除封隔器Ⅰ、Ⅱ的約束，則在井口壓力p2的作用下，第2段管柱會產生自由變形，此時第2段管柱的軸向應力σ2z=0。

由式(9)得第2段管柱的軸向變形為：

(12)

圖3 去除封隔器2約束示意

圖3中，F21為彎曲段摩阻對管柱的軸向力，F22為封隔器Ⅰ對管柱的軸向力。若以向右的軸向力為正方向，則由靜力學平衡條件得：

F21-F2+F22=0

(13)

因為上述方程中有一個已知力F2，2個未知力F21和F22，但是只有1個方程，所以此簡支梁結構為一次超靜定結構。

根據以上分析得到變形協調方程：

(14)

物理方程：

(15)

(16)

將物理方程(15)、(16)帶入變形協調方程(14)得：

F22L1-F21L2=0

(17)

聯立方程(13)和(17)解之得：

(18)

(19)

從而可知，當封隔器Ⅱ的約束存在時，彎曲段摩阻對管柱產生的約束軸向力大小為F21，方向與圖3中所示方向相反；封隔器Ⅰ對管柱產生的約束軸向力大小為F22，方向與圖3中所示方向相反。

由以上分析可知，當封隔器Ⅱ坐封時，封隔器Ⅰ又會對管柱產生1個向左的軸向力，從而使封隔器1對水平段管柱的軸向力變為：

(20)

4 管柱強度校核

由以上分析可知，當2個封隔器都坐封之后，彎曲段末端到封隔器Ⅱ之間的管柱段所受到的軸向應力為：

(21)

封隔器Ⅰ、Ⅱ之間的管柱段所受到的軸向應力為：

(22)

應用材料力學中的第四強度理論進行校核：

(23)

其中，校核長為L1的管柱段時，式(23)中徑向應力和環向應力分別由式(1)、(2)求得，軸向應力由式(22)求得；校核長為L2的管柱段時，將式(1)、(2)中的p1i用p2i替換即可求得式(23)中的徑向應力和環向應力，軸向應力由式(21)求得。

5 算例分析

水平井垂深h為4 000 m，從管柱彎曲段底部到封隔器Ⅱ的長度L2為600 m，封隔器Ⅰ、Ⅱ之間的管柱長度L1為400 m，管柱外徑D為88.9 mm，內徑d為76 mm，泊松比μ為0.3，彈性模量E為2.1×1011Pa，許用應力為758 MPa，完井液密度為1.2×103kg/m3，井底外壓為20 MPa，2個封隔器坐封時井口壓力分別為10 MPa、15 MPa。

5.1 封隔器Ⅰ坐封時管柱受力及變形計算

由式(5)得當沒有封隔器Ⅰ約束時水平段管柱的軸向變形為：

由式(6)得水平段管柱的軸向應力為：

由式(7)得水平段管柱所受軸向力為：

5.2 封隔器Ⅱ坐封時管柱受力及變形計算

由式(12)得當沒有封隔器Ⅰ、Ⅱ約束時水平段管柱的軸向變形為：

由式(10)得第2段管柱的軸向應力為：

由式(11)得封隔器Ⅱ對管柱的軸向力為：

由式(19)得第3個約束對管柱的軸向力為：

由式(20)得，當封隔器Ⅱ坐封時，封隔器Ⅰ對水平段管柱的軸向力變為：

5.3 管柱強度校核

1) 長為L1的管柱段強度校核。

由式(1)、(2)求得管柱徑向應力和環向應力分別為：

σ1r=-36.78 MPa，σ1θ=203.14 MPa

由式(22)求得管柱軸向應力為：

由式(23)求得管柱等效應力為：

σ4=218.65 MPa<758 MPa

因此第1段管柱安全。

2) 長為L2的管柱段強度校核。

由式(1)、(2)求得管柱徑向應力和環向應力分別為：

σ2r=-38.99 MPa，σ2θ=232.49 MPa

由式(21)求得管柱軸向應力為：

由式(23)求得管柱等效應力為：

σ4=235.38 MPa<758 MPa

因此第2段管柱安全。

6 結論

1) 由于水力壓縮式封隔器坐封條件的影響，封隔器在井下坐封時會使管柱產生徑向應力和環向應力，從而使管柱產生軸向變形。

2) 由于封隔器對管柱有約束，限制了管柱的軸向變形，所以此軸向變形會轉化為封隔器對管柱的軸向約束力，從而在管柱上產生軸向應力。

3) 后坐封封隔器在坐封時會使它到彎曲段之間的管柱上的軸向應力增加，而使它到先坐封封隔器之間的管柱上軸向應力降低。所以，危險截面出現在最后坐封的封隔器與彎曲段管柱之間，而靠近井底的管柱段軸向應力減小，管柱趨于安全。

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